Cấp số nhân và tính chất của nó

cấp số nhân là rất quan trọng trong toán học như một khoa học, và áp dụng ý nghĩa, vì nó có một phạm vi rất rộng, ngay cả trong toán học cao hơn, ví dụ, trong lý thuyết của loạt bài. Những thông tin đầu tiên về tiến độ đến với chúng ta từ Ai Cập cổ đại, đặc biệt là trong các hình thức của một vấn đề nổi tiếng của giấy cói Rhind bảy người với bảy mèo. Các biến thể của công việc này được lặp đi lặp lại nhiều lần vào những thời điểm khác nhau từ các quốc gia khác. Ngay cả những Velikiy Leonardo Pizansky, được gọi là Fibonacci (XIII c.), Nói chuyện với cô trong tay mình "Book of the Abacus."

Vì vậy mà sự tiến triển hình học có một lịch sử cổ đại. Nó đại diện cho một chuỗi số với một thành viên đầu tiên khác không, và mỗi tiếp theo, bắt đầu với thứ hai được xác định bằng cách nhân công thức tái phát trước đây tại một hằng số, khác không được gọi là mẫu số tiến triển (nó thường được sử dụng q thư).
Rõ ràng, nó có thể được tìm thấy bằng cách chia mỗi học kỳ tiếp theo của chuỗi cho trước, ví dụ: z 2: z 1 = ... = zn: z n-1 = .... Do đó, đối với hầu hết tiến trình công việc (zn) đủ mà nó biết giá trị của nhiệm kỳ đầu tiên của mẫu số và y 1 q.

Ví dụ, chúng ta hãy z 1 = 7, q = - 4 (q <0), sau đó tiến trình hình học sau đây được lấy 7-28, 112 - 448, .... Như bạn có thể thấy, chuỗi kết quả không phải là đơn điệu.

Nhớ lại rằng một chuỗi tùy ý các đơn điệu (tăng / giảm) khi một trong số các thành viên của mình theo nhiều / ít hơn so với trước đó. Ví dụ, dãy 2, 5, 9, ..., và -10, -100, -1000, ... - đơn điệu, thứ hai một - một tiến trình hình học giảm.

Trong trường hợp q = 1, tất cả các thành viên được xác định là, và nó được gọi là sự tiến triển liên tục.

Trình tự là sự tiến triển của loại hình này, nó phải đáp ứng các điều kiện cần và đủ sau, cụ thể là: bắt đầu từ thứ hai, mỗi người trong số các thành viên của nó nên được giá trị trung bình hình học của các thành viên lân cận.

Thuộc tính này cho phép dưới hai phát hiện liền kề tiến triển tùy ý hạn nhất định.

n thứ hạn theo cấp số nhân dễ dàng tìm thấy bằng công thức: zn = z 1 * q ^ (n-1), z biết thành viên đầu tiên 1 và q mẫu số.

Kể từ khi dãy số có một số tiền, sau đó một vài tính toán đơn giản cho chúng ta một công thức để tính toán tổng của sự tiến triển đầu tiên của các thành viên, cụ thể là:

S n = - (zn * q - z 1) / (1 - q).

Thay thế, trong công thức của nó giá trị biểu zn z 1 * q ^ (n-1) để có được một công thức tổng hợp thứ hai của tiến trình: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Xứng đáng với sự chú ý của thực tế thú vị sau: phiến đất sét được tìm thấy trong cuộc khai quật của Babylon cổ đại, trong đó đề cập đến VI. BC, chứa cách đáng kể tổng của 1 + 2 + ... + 22 + 29 bằng 2 để trừ lũy thừa mười 1. Giải thích về hiện tượng này vẫn chưa được tìm thấy.

Chúng tôi lưu ý một trong những thuộc tính của tiến trình hình học - một công việc thường xuyên của các thành viên, cách nhau ở khoảng cách tương đương từ tận cùng của dãy.

Đặc biệt quan trọng từ một quan điểm khoa học, một điều như một cấp số nhân vô hạn và tính toán số lượng của nó. Giả sử rằng (yn) - một tiến trình hình học có mẫu số q, đáp ứng các điều kiện | q | <1, số lượng của nó sẽ được giới thiệu đến giới hạn về phía mà chúng ta đã biết tổng của các thành viên đầu tiên của mình, với sự gia tăng không giới hạn của n, thì có lúc nó tiếp cận vô cùng.

Tìm số tiền này như là kết quả của việc sử dụng công thức:

S n = y 1 / (1- q).

Và, như kinh nghiệm đã cho thấy, đối với sự đơn giản rõ ràng của sự tiến triển này được giấu một tiềm năng ứng dụng rất lớn. Ví dụ, nếu chúng ta xây dựng một chuỗi các hình vuông theo thuật toán sau, kết nối trung điểm của tuần trước, sau đó chúng tạo thành một cấp số nhân vô hạn vuông có một mẫu số 1/2. Dạng tiến triển tương tự và diện tích tam giác, thu được ở từng giai đoạn thi công, và tổng của nó là tương đương với diện tích của hình vuông ban đầu.