Một ví dụ của một mô hình toán học. Định nghĩa, phân loại và các tính năng

Trong bài viết, được cung cấp cho sự chú ý của bạn, chúng tôi cung cấp các ví dụ về các mô hình toán học. Ngoài ra, chúng ta sẽ chú ý đến các giai đoạn của việc tạo ra các mô hình và phân tích một số vấn đề liên quan đến mô hình toán học.

Một câu hỏi khác mà chúng ta có là các mô hình toán học trong nền kinh tế, ví dụ, mà chúng ta sẽ xem xét một chút sau đó. Chúng tôi khuyên bạn nên bắt đầu cuộc trò chuyện từ chính khái niệm "mô hình", xem xét lại phân loại của họ và chuyển sang các vấn đề chính của chúng tôi.

Khái niệm "mô hình"

Chúng ta thường nghe từ "mô hình". Nó là gì? Thuật ngữ này có nhiều định nghĩa, đây chỉ là ba trong số chúng:

• Một đối tượng cụ thể được tạo ra để nhận và lưu trữ thông tin, phản ánh một số thuộc tính hoặc đặc tính, vv của bản gốc của đối tượng đã cho (đối tượng cụ thể này có thể được thể hiện dưới các hình thức khác nhau: tinh thần, mô tả bằng các dấu hiệu vv);
• Ngay cả dưới mô hình có nghĩa là hiển thị một tình huống cụ thể, quan trọng hay hành chính;
• Mô hình có thể là một bản sao của một đối tượng (được tạo ra để nghiên cứu và phân tích chi tiết hơn, vì mô hình phản ánh cấu trúc và mối quan hệ).

Dựa vào những gì đã nói, bạn có thể rút ra một kết luận nhỏ: mô hình cho phép bạn nghiên cứu chi tiết một hệ thống hoặc đối tượng phức tạp.

Tất cả các mô hình có thể được phân loại theo một số đặc điểm:

• Về lĩnh vực sử dụng (giáo dục, thực nghiệm, khoa học kỹ thuật, trò chơi, bắt chước);
• Động lực học (tĩnh và động);
• Về lĩnh vực tri thức (về thể chất, hoá học, địa lý, lịch sử, xã hội học, kinh tế, toán học);
• Bằng cách trình bày (tài liệu và thông tin).

Các mô hình thông tin lần lượt được chia thành dấu hiệu và lời nói. Và những biểu tượng này là dành cho máy vi tính và phi máy tính. Bây giờ chúng ta hãy xem xét chi tiết các ví dụ của một mô hình toán học.

Mô hình toán học

Vì nó không phải là khó đoán, mô hình toán học phản ánh một số tính năng của một đối tượng hoặc hiện tượng sử dụng các ký hiệu toán học đặc biệt. Toán học cũng cần thiết để mô phỏng các luật của thế giới xung quanh theo ngôn ngữ cụ thể của nó.

Phương pháp mô hình hoá toán học đã được sinh ra từ lâu, cách đây hàng nghìn năm, cùng với sự xuất hiện của khoa học này. Tuy nhiên, đà phát triển của mô hình này là sự xuất hiện của máy tính (máy tính điện tử).

Bây giờ chúng ta hãy tiến hành phân loại. Nó cũng có thể được thực hiện trên một số căn cứ. Chúng được trình bày trong bảng dưới đây.

Phân loại theo ngành khoa học	Áp dụng các mô hình toán học trong vật lý, xã hội học, hóa học ...
Bộ máy toán được sử dụng trong quá trình lập mô hình	Các mô hình dựa trên các phương trình vi phân, biến đổi đại số rời rạc, và các dạng tương tự
Theo mục đích của mô hình hóa	Theo nguyên tắc này, phân biệt mô tả, tối ưu hóa, mô hình đa tiêu chuẩn, trò chơi và mô phỏng

Chúng tôi đề xuất dừng lại và xem lại phân loại mới nhất chi tiết hơn, vì nó phản ánh các mô hình chung của mô hình và mục đích của các mô hình được tạo ra.

Mô hình mô tả

Trong chương này, chúng tôi đề xuất để mô tả chi tiết hơn về mô hình toán học mô tả. Để mọi thứ trở nên rõ ràng, ví dụ sẽ được đưa ra.

Để bắt đầu, loài này có thể được gọi là mô tả. Điều này là do thực tế là chúng ta chỉ đơn giản là tính toán và dự báo, nhưng chúng ta không thể ảnh hưởng đến kết quả của sự kiện theo bất kỳ cách nào.

Một ví dụ sinh động của một mô hình toán học mô tả là tính toán quỹ đạo bay, tốc độ, khoảng cách từ trái đất của sao chổi, xâm chiếm các vùng rộng của hệ mặt trời. Mô hình này là mô tả, vì tất cả các kết quả thu được chỉ có thể cảnh báo chúng tôi về bất kỳ nguy hiểm. Để ảnh hưởng đến kết quả của sự kiện, than ôi, chúng ta không thể. Tuy nhiên, dựa trên các tính toán đã nhận được, có thể thực hiện bất kỳ biện pháp nào để cứu sống Trái đất.

Mô hình tối ưu hóa

Bây giờ chúng ta sẽ nói một chút về các mô hình kinh tế và toán học, ví dụ có thể phục vụ các tình huống khác nhau. Trong trường hợp này, chúng ta đang nói về các mô hình giúp tìm ra câu trả lời đúng trong những điều kiện nhất định. Họ nhất thiết phải có một số thông số. Để trở nên rất rõ ràng, hãy xem xét một ví dụ từ phần nông nghiệp.

Chúng tôi có một nhà kho, nhưng hạt rất nhanh chóng bị hư hỏng. Trong trường hợp này, chúng ta cần chọn chính xác chế độ nhiệt độ và tối ưu hóa quá trình lưu trữ.

Do đó, chúng ta có thể định nghĩa "mô hình tối ưu hóa". Theo nghĩa toán học, đây là một hệ phương trình (cả tuyến tính và không), giải pháp giúp tìm ra giải pháp tối ưu trong một tình huống kinh tế cụ thể. Chúng tôi đã xem xét một ví dụ về một mô hình toán học (tối ưu hóa), nhưng tôi muốn thêm vào: loại này thuộc về lớp các vấn đề cực đoan, chúng giúp mô tả hoạt động của hệ thống kinh tế.

Chúng ta hãy lưu ý một sắc thái khác: các mô hình có thể có một nhân vật khác (xem bảng dưới đây).

Quyết định	Trong trường hợp này, kết quả phụ thuộc vào dữ liệu đầu vào
Stochastic	Mô tả quy trình ngẫu nhiên. Trong trường hợp này, kết quả vẫn không chắc chắn

Mô hình đa tiêu chí

Bây giờ chúng tôi đề nghị bạn hãy nói một chút về mô hình toán học về tối ưu hóa nhiều vân đề. Trước đó, chúng tôi đã đưa ra một ví dụ về một mô hình toán học tối ưu hóa quy trình theo bất kỳ tiêu chí nào, nhưng nếu có nhiều thì sao?

Một ví dụ sinh động của một nhiệm vụ đa dạng là việc tổ chức các quyền, hữu ích và đồng thời tiết kiệm cho một nhóm người lớn. Với những nhiệm vụ như vậy thường được tìm thấy trong quân đội, căng tin trường học, trại hè, bệnh viện và như vậy.

Các tiêu chí nào được trao cho chúng ta trong nhiệm vụ này?

1. Các bữa ăn nên có ích.
2. Chi phí thức ăn phải là tối thiểu.

Như bạn thấy, những mục tiêu này không hoàn toàn trùng khớp. Vì vậy, trong việc giải quyết vấn đề, nó là cần thiết để tìm kiếm các giải pháp tối ưu, sự cân bằng giữa hai tiêu chí.

Mô hình Trò chơi

Nói về các mô hình chơi game, cần phải hiểu khái niệm "lý thuyết trò chơi". Đơn giản chỉ cần đặt, những mô hình này phản ánh các mô hình toán học của xung đột thực sự. Chỉ có điều đáng để hiểu rằng, không giống như một cuộc xung đột thực sự, mô hình toán học trò chơi có các quy tắc cụ thể của riêng nó.

Bây giờ sẽ được cấp tối thiểu thông tin từ lý thuyết trò chơi, điều này sẽ giúp bạn hiểu mô hình trò chơi là gì. Và như vậy, trong mô hình nhất thiết phải có các mặt (hai hoặc nhiều hơn), thường được gọi là cầu thủ.

Tất cả các mô hình có những đặc điểm nhất định.

Môn học	Số người chơi
Chiến lược	Tùy chọn hành động khả thi
Thanh toán	Kết quả của xung đột (chiến thắng hoặc thua).

Mô hình trò chơi có thể là một cặp hoặc nhiều. Nếu chúng ta có hai đối tượng, thì xung đột là một cặp, nếu nhiều hơn - nhiều. Bạn cũng có thể xác định một trò chơi đối kháng, nó còn được gọi là một trò chơi zero-sum. Đây là một mô hình, trong đó đạt được của một trong những người tham gia bằng mất của khác.

Mô hình mô phỏng

Trong phần này, chúng ta sẽ chú ý đến các mô hình toán học mô phỏng. Ví dụ về các nhiệm vụ là:

• Mô hình động lực của số lượng vi sinh vật;
• Mô hình chuyển động của phân tử, vân vân.

Trong trường hợp này, chúng ta đang nói về các mô hình gần nhất với quy trình thực tế nhất có thể. Nói chung, họ bắt chước bất kỳ biểu hiện nào trong tự nhiên. Trong trường hợp đầu tiên, ví dụ, chúng ta có thể mô phỏng động lực của số lượng kiến ở một thuộc địa. Trong trường hợp này, người ta có thể quan sát số phận của từng cá nhân. Trong trường hợp này, mô tả toán học hiếm khi được sử dụng, thường có các điều kiện bằng văn bản:

• Trong năm ngày phụ nữ đẻ trứng;
• Trong hai mươi ngày con kiến chết, vân vân.

Do đó, các mô hình mô phỏng được sử dụng để mô tả một hệ thống lớn. Kết luận toán học là xử lý số liệu thống kê nhận được.

Yêu cầu

Điều rất quan trọng là phải biết rằng một số yêu cầu được áp dụng đối với loại mô hình này, trong số đó được liệt kê trong bảng dưới đây.

Tính linh hoạt	Tài sản này cho phép bạn sử dụng cùng một mô hình khi mô tả cùng loại nhóm đối tượng. Cần lưu ý rằng các mô hình toán phổ quát hoàn toàn độc lập với bản chất vật lý của vật đang nghiên cứu
Mức độ đầy đủ	Điều quan trọng là bạn phải hiểu ở đây rằng tài sản này cho phép bạn sao chép các quy trình thực sự một cách chính xác nhất có thể. Trong nhiệm vụ khai thác, tài sản này của mô hình toán học là rất quan trọng. Một ví dụ về mô hình có thể là quá trình tối ưu hoá việc sử dụng hệ thống khí. Trong trường hợp này, các chỉ số được tính toán và thực tế được so sánh, kết quả là sự chính xác của mô hình được kiểm tra
Độ chính xác	Yêu cầu này hàm ý sự trùng hợp ngẫu nhiên của các giá trị mà chúng ta nhận được khi tính toán mô hình toán học và các tham số đầu vào của đối tượng thực của chúng ta
Kinh tế	Yêu cầu về khả năng sinh lời, áp dụng cho bất kỳ mô hình toán học, được đặc trưng bởi chi phí thực hiện. Nếu công việc với mô hình được thực hiện bằng tay, thì cần phải tính toán mất bao lâu để giải quyết một vấn đề với sự trợ giúp của mô hình toán học này. Nếu chúng ta nói về thiết kế hỗ trợ máy tính, chúng tôi tính thời gian và bộ nhớ máy tính

Các giai đoạn của mô hình hóa

Trong tổng số trong mô hình toán học, thường là phân biệt bốn giai đoạn.

1. Xây dựng luật liên kết các bộ phận của mô hình.
2. Nghiên cứu các vấn đề toán học.
3. Làm rõ sự trùng hợp ngẫu nhiên của các kết quả thực tế và lý thuyết.
4. Phân tích và hiện đại hoá mô hình.

Mô hình kinh tế - toán học

Trong phần này chúng ta sẽ thảo luận ngắn về vấn đề mô hình kinh tế và toán học. Ví dụ về các nhiệm vụ là:

• Sự hình thành một chương trình sản xuất để sản xuất các sản phẩm thịt, đảm bảo lợi nhuận tối đa cho sản xuất;
• Tối đa hoá lợi nhuận của tổ chức bằng cách tính toán số lượng tối ưu các bàn ghế và đầu ra trong nhà máy đồ gỗ, v.v ...

Mô hình kinh tế - toán học phản ánh trừu tượng kinh tế, được thể hiện bằng các thuật ngữ và dấu hiệu toán học.

Mô hình toán học máy tính

Ví dụ về mô hình toán học máy tính là:

• Nhiệm vụ của thủy lực với sự trợ giúp của sơ đồ khối, sơ đồ, bảng, vân vân;
• Các vấn đề về cơ học của chất rắn, vân vân.

Một mô hình máy tính là một hình ảnh của một đối tượng hoặc hệ thống, đại diện là:

• Bàn;
• Sơ đồ khối;
• Sơ đồ;
• Đồ họa, v.v.

Đồng thời, mô hình này phản ánh cấu trúc và tương quan của hệ thống.

Xây dựng mô hình kinh tế - toán học

Chúng ta đã nói về một mô hình toán kinh tế. Một ví dụ về giải pháp của vấn đề sẽ được xem xét ngay bây giờ. Chúng ta cần tiến hành phân tích chương trình sản xuất để xác định trữ lượng tăng lợi nhuận trong sự thay đổi trong phạm vi.

Chúng tôi sẽ không xem xét đầy đủ vấn đề, nhưng chỉ xây dựng một mô hình kinh tế-toán học. Tiêu chí của nhiệm vụ của chúng tôi là tối đa hoá lợi nhuận. Sau đó, hàm có dạng: A = p1 * x1 + p2 * x2 ..., có xu hướng tối đa. Trong mô hình này, p là lợi nhuận trên một đơn vị, x là số đơn vị sản xuất. Hơn nữa, dựa trên mô hình xây dựng, nó là cần thiết để tính toán và tóm tắt.

Một ví dụ về xây dựng một mô hình toán học đơn giản

Nhiệm vụ. Ngư dân trở về với ngư cụ sau:

• 8 con cá - cư dân vùng biển phía Bắc;
• 20% dân cư ở các vùng biển phía Nam;
• Từ sông địa phương, không tìm thấy một con cá đơn lẻ.

Anh ta mua bao nhiêu cá trong cửa hàng?

Do đó, một ví dụ về xây dựng một mô hình toán học của một vấn đề nhất định như sau. Cho biết tổng số cá cho x. Theo điều kiện, 0.2x là số lượng cá sống ở vĩ độ phía Nam. Bây giờ chúng ta kết hợp tất cả các thông tin có sẵn và lấy một mô hình toán học của vấn đề: x = 0.2x + 8. Giải quyết phương trình và nhận câu trả lời cho câu hỏi chính: ông đã mua 10 con cá trong cửa hàng.