Polyhedra thường xuyên: các yếu tố đối xứng và khu vực

Geometry là đẹp bởi vì, không giống như đại số, mà không phải lúc nào cũng rõ ràng lý do tại sao và những gì bạn nghĩ, đưa ra một đối tượng thị giác. Đây thế giới tuyệt vời của các cơ quan khác nhau tô điểm cho các polyhedra thường xuyên.

Thông tin chung về polyhedra thường xuyên

Theo nhiều người, khối đa diện đều, hoặc khi chúng được gọi là chất rắn Platon, có đặc tính độc đáo. Với những đối tượng kết nối một vài giả thuyết khoa học. Khi bạn bắt đầu nghiên cứu các dữ liệu hình học của cơ thể, bạn nhận ra rằng hầu như không biết gì về một khái niệm như polyhedra thường xuyên. Bài trình bày của các đối tượng trong nhà trường không phải lúc nào cũng hấp dẫn hơn, nhiều người thậm chí không nhớ những gì họ đang gọi. Trong ký ức của hầu hết mọi người nó chỉ là một khối lập phương. Không ai trong số các hình học cơ thể không có sự hoàn hảo như khối đa diện đều. Tất cả các tên của các cơ quan hình học có nguồn gốc từ Hy Lạp cổ đại. Họ đại diện cho số của khuôn mặt: tứ diện - bốn mặt, lục giác - Allen, octahedron - bát giác, khối mười hai mặt - quanh khối cầu, icosahedron - icosahedral. Tất cả những thân hình học chiếm một vị trí quan trọng trong quan niệm về vũ trụ của Plato. Bốn trong số họ được thể hiện các yếu tố hoặc các tổ chức: các tứ diện - lửa, icosahedron - khối nước - đất, octahedron - không khí. Khối mười hai mặt thể hiện tất cả mọi thứ. Ông được coi là chính, như một biểu tượng của vũ trụ.

Tổng quát về khái niệm của một đa diện

Đa diện là một tập hợp hữu hạn các đa giác như vậy:

• mỗi bên của bất kỳ của đa giác là cùng một lúc chỉ có một bên của một đa giác trên cùng một bên;
• từ mỗi đa giác bạn có thể đi bộ đến khác bằng cách đi qua liền kề sung đa giác.

Đa giác tạo thành đa diện đại diện cho khuôn mặt của nó và tác dụng phụ - sườn. đỉnh polyhedra là các đỉnh của đa giác. Nếu đa giác hạn hiểu polylines đóng phẳng, sau đó đến một định nghĩa của một đa diện. Trong trường hợp của thuật ngữ này có nghĩa là một phần của chiếc máy bay được bao bọc bởi các đường bị hỏng, nó sẽ được hiểu bề mặt bao gồm các mảnh đa giác. đa diện lồi được gọi là cơ thể nằm trên một mặt của chiếc máy bay, tiếp giáp với khuôn mặt của mình.

Một định nghĩa của một đa diện và các yếu tố của nó

Đa diện được gọi là bề mặt bao gồm đa giác, làm hạn chế cơ thể hình học. Đó là:

• không lồi;
• lồi (đúng và sai).

Thường xuyên đa diện - là một đa diện lồi với đối xứng tối đa. Các yếu tố của polyhedra thường xuyên:

• Tứ diện: 6 xương sườn 4 khuôn mặt 5 đỉnh;
• lục giác (cube) 12, 6, 8;
• khối mười hai mặt 30, 12, 20;
• octahedron 12, 8, 6;
• icosahedron 30, 20, 12.

Định lý Euler

Nó thiết lập một mối quan hệ giữa số cạnh, đỉnh và khuôn mặt là topology tương đương với một quả cầu. Thêm số đỉnh và khuôn mặt (B + D) có polyhedra thường xuyên khác nhau và so sánh chúng với số lượng xương sườn, người ta có thể thiết lập một quy tắc: tổng số khuôn mặt tương ứng với số đỉnh và các cạnh (P) tăng 2. Có thể lấy được một công thức đơn giản:

• B + D = P + 2.

Công thức này có giá trị cho tất cả polyhedra lồi.

định nghĩa cơ bản

Khái niệm về một khối đa diện đều là không thể diễn tả trong một câu. Đó là giá trị và khối lượng hơn. Một cơ thể được công nhận là như vậy, nó là cần thiết rằng nó đáp ứng một số các định nghĩa. Do đó, một thân hình học sẽ là một khối đa diện đều khi những điều kiện này được đáp ứng:

• đó là lồi;
• cùng một số xương sườn hội tụ tại mỗi đỉnh của nó;
• tất cả các khía cạnh của mình - đa giác đều đặn, bình đẳng với nhau;
• Tất cả các góc nhị diện đều bình đẳng.

Tính chất của polyhedra thường xuyên

Có 5 loại khác nhau của polyhedra thường xuyên:

1. Cube (lục giác) - nó có một góc đỉnh phẳng là 90 °. Nó có một góc 3 mặt. Số tiền mặt góc ở đỉnh của 270 °.
2. Tứ diện - căn hộ góc đỉnh của - 60 °. Nó có một góc 3 mặt. Số tiền mặt góc ở đỉnh - 180 °.
3. Octahedron - phẳng góc đỉnh của - 60 °. Nó có một góc bốn mặt. Số tiền mặt góc ở đỉnh - 240 °.
4. Khối mười hai mặt - một góc đỉnh phẳng của 108 °. Nó có một góc 3 mặt. Số tiền mặt góc ở đỉnh - 324 °.
5. Icosahedron - nó có một góc đỉnh bằng phẳng - 60 °. Nó có một góc lăm mặt. Số tiền mặt góc ở đỉnh là 300 °.

Diện tích polyhedra thường xuyên

Diện tích bề mặt của các cơ quan hình học (S) được tính như một khu vực đa giác thường xuyên nhân với số khía cạnh (G):

• S = (a: 2) x 2G CTG π / p.

Khối lượng của một khối đa diện đều

Giá trị này được tính bằng cách nhân khối lượng của một kim tự tháp thường xuyên có cơ sở là một đa giác thường xuyên, số lượng các khuôn mặt, và chiều cao của nó là bán kính ghi của hình cầu (r):

• V = 1: 3R.

Khối lượng polyhedra thường xuyên

Giống như bất kỳ vững chắc, polyhedra thường xuyên hình học khác có khối lượng khác nhau. Dưới đây là công thức mà họ có thể tính toán:

• Tứ diện: α x 3√2: 12;
• octahedron: α x 3√2: 3;
• icosahedron; α x 3;
• lục giác (cube): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• khối mười hai mặt: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Các yếu tố của polyhedra thường xuyên

Lục giác và octahedron là cơ quan hình học kép. Nói cách khác, họ có thể thoát ra khỏi nhau trong trường hợp trọng tâm của một người được đem như đầu của người kia, và ngược lại. Cũng icosahedron kép và khối mười hai mặt. Mình chỉ tứ diện là kép. Theo phương pháp của Euclid có thể được lấy từ một lục giác khối mười hai mặt bằng xây dựng "mái nhà" trên khuôn mặt của khối lập phương. Các đỉnh của tứ diện bất kỳ 4 đỉnh của khối lập phương, chứ không phải cặp liền kề dọc theo mép. Từ lục giác (khối) có thể thu được, và polyhedra thường xuyên khác. Mặc dù thực tế rằng đa giác thường xuyên có vô số, polyhedra thường xuyên, chỉ có 5 đang có.

Bán kính của đa giác thường xuyên

Với mỗi người trong các cơ quan hình học là mặt cầu đồng tâm kết nối 3:

• mô tả đi qua các đỉnh;
• ghi đối với từng khuôn mặt của nó ở giữa nó;
• trung bình liên quan đến tất cả các cạnh ở giữa.

Bán kính của mặt cầu được mô tả theo công thức sau được tính:

• R = a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Bán kính của hình cầu ghi được tính như sau:

• R = a: 2 x CTG π / p x tg θ: 2,

nơi θ - góc nhị diện đó là giữa khía cạnh liền kề.

Bán kính trung bình của khu vực có thể được tính theo công thức sau:

• ρ = a π cos / p: 2 sin π / h,

trong đó h = độ lớn 4,6, 6,10, hoặc 10. Tỉ lệ giữa bán kính của các ghi mô tả và liên quan đến p và q đối xứng với. Nó được tính như sau:

• R / r = tg π / p x tg π / q.

Đối xứng của polyhedra

Sự đối xứng của polyhedra thường xuyên là mối quan tâm chính đối với các cơ quan hình học. Điều này được hiểu như một phong trào của cơ thể trong không gian, mà lá cùng số đỉnh, khuôn mặt và các cạnh. Nói cách khác, dưới ảnh hưởng của biến đổi đối xứng cạnh, đỉnh, hoặc khuôn mặt vẫn giữ được vị trí ban đầu của nó, hoặc di chuyển đến vị trí nhà của xương sườn khác, các đỉnh hay mặt khác.

Các yếu tố của đối xứng của polyhedra thường xuyên được dùng chung cho tất cả các loại chất rắn hình học. Ở đây nó được tiến hành về việc chuyển đổi danh tính, mà lá bất kỳ trong những điểm ở vị trí ban đầu. Vì vậy, khi bạn bật lăng kính đa giác có thể nhận được một số đối xứng. Ai trong số họ có thể được biểu diễn như là sản phẩm của phản xạ. Đối xứng, đó là sản phẩm của một số chẵn các phản xạ, gọi trực tiếp. Nếu nó là sản phẩm của một số lẻ của suy tư, sau đó nó được gọi là phản hồi. Như vậy, tất cả các lượt xung quanh dòng đại diện đối xứng thẳng. Bất kỳ phản ánh đa diện - là đối xứng nghịch đảo.

Để hiểu rõ hơn về các yếu tố đối xứng của polyhedra thường xuyên, bạn có thể lấy ví dụ của tứ diện. Dòng nào sẽ đi qua một trong các đỉnh và trung tâm của các hình dạng hình học, sẽ diễn ra, và qua trung tâm của toàn ngược lại cạnh nó. Mỗi phòng trong số lượt 120 và 240 ° quanh dòng thuộc tính đối xứng tứ diện số nhiều. Kể từ khi lên 4 đỉnh và khuôn mặt, chúng ta có được một tổng số tám đối xứng trực tiếp. Bất kỳ của các đường đi giữa các cạnh và trung tâm của cơ thể thông qua, nó đi giữa của cạnh đối diện thông qua. Bất kỳ xoay 180 °, được gọi là một nửa lượt xung quanh một đối xứng thẳng. Kể từ khi tứ diện có ba cặp xương sườn, bạn sẽ có ba dòng đối xứng. Dựa trên việc trên, chúng ta có thể kết luận rằng tổng số đối xứng trực tiếp, và bao gồm cả việc chuyển đổi danh tính, sẽ được lên đến mười hai. Khác tứ diện đối xứng trực tiếp không tồn tại, nhưng nó có 12 đối xứng nghịch đảo. Do đó, chỉ có 24 đặc trưng đối xứng tứ diện. Để rõ ràng, chúng ta có thể xây dựng một mô hình của một tứ diện đều đặn bằng các tông cứng và chắc chắn rằng nó là cơ quan hình học thực sự chỉ có 24 đối xứng.

Khối mười hai mặt và icosahedron - gần khu vực cơ thể. Icosahedron có số lượng lớn nhất của khuôn mặt, góc nhị diện và hầu hết tất cả chặt chẽ có thể bám vào các lĩnh vực ghi. Khối mười hai mặt có khiếm khuyết góc khối lớn góc thấp nhất tại đỉnh. Nó có thể phát huy tối đa để điền vào trong lĩnh vực gao.

quét polyhedra

Thường xuyên polyhedra quét, mà tất cả chúng tôi bị mắc kẹt cùng nhau trong thời thơ ấu, có rất nhiều khái niệm. Nếu có một tập hợp các đa giác, mỗi bên trong đó được xác định với chỉ một bên của đa diện, việc xác định các bên phải tuân thủ hai điều kiện:

• của mỗi đa giác, bạn có thể đi đến một đa giác có việc xác định các bên;
• bên mang tính chất nên có cùng độ dài.

Nó là một tập hợp các đa giác có thể đáp ứng những điều kiện này, và được gọi là một đa diện quét. Mỗi cơ quan có một số trong số họ. Ví dụ, một khối lập phương trong đó có 11 miếng.