Gauss: ví dụ về các giải pháp và các trường hợp đặc biệt

phương pháp Gauss, hay còn gọi là phương pháp loại bỏ từng bước của các biến không rõ, đặt theo tên của nhà khoa học nổi tiếng người Đức KF Gauss, trong khi vẫn còn sống đã nhận được danh hiệu không chính thức "Vua của toán học." Tuy nhiên, phương pháp này đã được biết đến từ lâu trước khi sự ra đời của nền văn minh châu Âu, ngay cả trong thế kỷ tôi. BC. e. các học giả Trung Quốc cổ đại đã sử dụng nó trong các tác phẩm của mình.

Gauss là một cách cổ điển của giải hệ phương trình đại số tuyến tính (Slough). Đó là lý tưởng cho một giải pháp nhanh chóng để các ma trận kích thước giới hạn.

Các phương pháp riêng của mình bao gồm hai bước: về phía trước và ngược lại. Tất nhiên trực tiếp gọi là chuỗi thể hiện tin bán dưới dạng hình tam giác, tức là giá trị không dưới đường chéo chính. Rút lại liên quan đến việc phát hiện phù hợp của các biến, thể hiện mỗi biến thông qua trước đó.

Tìm hiểu để áp dụng trong thực tế, Gauss là vừa đủ để biết các quy tắc cơ bản của phép nhân, cộng và trừ các con số.

Để chứng minh thuật toán để giải quyết các hệ thống tuyến tính bằng phương pháp này, chúng tôi giải thích một ví dụ.

Vì vậy, được giải quyết bằng Gauss:

x + 2y + 4z = 3
2x + 6y + 11z = 6
4x-2y-2Z = -6

Chúng ta cần các dòng thứ hai và thứ ba để thoát khỏi của biến x. Về điều này chúng ta thêm vào cho ông nhân đầu tiên bởi -2, và -4, tương ứng. chúng tôi nhận được:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3Z = 0
-10y-18z = -18

Bây giờ dòng 2 nhân với 5 và thêm nó vào thứ ba:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3Z = 0
-3z = -18

Chúng tôi mang đến hệ thống của chúng tôi để một hình tam giác. Bây giờ chúng tôi thực hiện ngược lại. Chúng tôi bắt đầu với những dòng cuối cùng:
-3z = -18,
z = 6.

Dòng thứ hai:
2y + 3Z = 0
2y + 18 = 0
2y = -18,
y = -9

Dòng đầu tiên:
x + 2y + 4z = 3
x-18 + 24 = 3
x = 18-24 + 3
x = -3

Thay các giá trị của các biến trong dữ liệu gốc, chúng tôi xác minh tính đúng đắn của quyết định.

Ví dụ này có thể được giải quyết rất nhiều bất kỳ thay thế khác, nhưng câu trả lời được coi là giống nhau.

Nó như vậy sẽ xảy ra rằng các yếu tố hàng đầu của hàng đầu tiên được bố trí với các giá trị quá nhỏ. Nó không đáng sợ, nhưng thay vì làm phức tạp tính toán. Giải pháp là để Gauss với xoay vòng trên một cột. bản chất của nó là như sau: dòng đầu tiên của tối đa tìm yếu tố modulo, cột, trong đó nó có vị trí, nơi sự thay đổi với các cột 1, đó là yếu tố tối đa của chúng tôi trở thành phần tử đầu tiên của đường chéo chính. Tiếp theo là một quá trình tính toán tiêu chuẩn. Nếu cần thiết, các thủ tục thay đổi các cột ở một số nơi có thể được lặp đi lặp lại.

Một phiên bản của phương pháp này là phương pháp Gauss Gauss-Jordan.

Nó được sử dụng để giải quyết các hệ thống tuyến tính vuông, khi ma trận nghịch đảo của ma trận và xếp hạng (số dòng khác không).

Bản chất của phương pháp này là các hệ thống ban đầu được biến đổi bởi những thay đổi trong nhận dạng ma trận với một biến phát hiện thêm.

Thuật toán là nó:

1. Các hệ phương trình là, như trong phương pháp Gauss, một dạng hình tam giác.

2. Mỗi dòng được chia thành một số cụ thể theo cách như vậy mà đơn vị đã bật đường chéo chính.

3. Dòng cuối cùng được nhân với một số lượng nhất định và trừ vào áp chót như vậy là không để có được trên chính đường chéo 0.

4. Bước 3 được lặp đi lặp lại liên tục cho tất cả các hàng cho đến khi cuối cùng không hình thành ma trận đơn vị.