Euler vòng tròn. Circles Euler - ví dụ trong logic

Leonard Euler (1707-1783) - một nhà toán học nổi tiếng Thụy Sĩ và Nga, một thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học Quốc gia Petersburg, đã dành hầu hết cuộc đời của mình ở Nga. Điểm nổi tiếng nhất trong phân tích, thống kê, tin học và logic toán học là vòng tròn Euler (biểu đồ Euler-Venn) dùng để biểu thị phạm vi khái niệm và các bộ phận.

John Venn (1834-1923) là một nhà triết học và nhà logic học người Anh, đồng tác giả của biểu đồ Euler-Venn.

Các khái niệm tương thích và không tương thích

Theo khái niệm trong logic có nghĩa là một hình thức tư duy phản ánh các thuộc tính thiết yếu của một lớp các đối tượng đồng nhất. Chúng được biểu thị bởi một hoặc một nhóm từ: "bản đồ thế giới", "quintuptakkord thống trị", "thứ hai", v.v ...

Trong trường hợp các yếu tố thể tích của một khái niệm hoàn toàn hoặc một phần thuộc về khối lượng của một khái niệm khác, họ nói về các khái niệm tương thích. Nếu không có yếu tố nào của khối lượng của một khái niệm nhất định thuộc về khối lượng của các khác, chúng tôi có một nơi với các khái niệm không tương thích.

Đổi lại, mỗi loại khái niệm đều có tập các mối quan hệ có thể có. Đối với các khái niệm tương thích như sau:

• Bản sắc (tương đương) khối lượng;
• Giao lộ (một phần ngẫu nhiên) của khối lượng;
• Sự phụ thuộc.

Đối với không tương thích:

• Phù hợp (phối hợp);
• Tương phản (tương phản);
• Mâu thuẫn.

Theo cách sơ đồ, mối quan hệ giữa các khái niệm trong logic thường được biểu diễn bằng vòng tròn Euler-Venn.

Quan hệ cân bằng

Trong trường hợp này, các khái niệm có nghĩa là cùng một điều. Theo đó, khối lượng của các khái niệm này hoàn toàn trùng khớp. Ví dụ:

A - Sigmund Freud;

B - người sáng lập của phân tâm học.

Hoặc là:

A là một hình vuông;

B là một hình chữ nhật bằng nhau;

C là một hình thoi khớp.

Đối với việc chỉ định, vòng tròn Euler hoàn toàn trùng hợp được sử dụng.

Giao lộ (một phần ngẫu nhiên)

Danh mục này bao gồm các khái niệm có các yếu tố chung liên quan đến việc vượt qua. Tức là, khối lượng của một trong những khái niệm này được bao gồm một phần trong phạm vi của một khái niệm khác:

A - giáo viên;

B là một người yêu âm nhạc.

Như thể thấy từ ví dụ này, phạm vi khái niệm chồng chéo nhau: một nhóm giáo viên có thể trở thành những người yêu âm nhạc, và ngược lại - những người đại diện cho nghề sư phạm có thể là những người yêu âm nhạc. Một mối quan hệ tương tự sẽ xảy ra trong trường hợp khi "công dân" xuất hiện như khái niệm A, và "bộ tự quy" là B.

Sự phụ thuộc

Theo kiểu được biểu thị bằng các vòng tròn Euler khác nhau. Mối quan hệ giữa các khái niệm trong trường hợp này được đặc trưng bởi thực tế là khái niệm phụ (ít hơn trong phạm vi) là một phần của cấp dưới (lớn hơn về khối lượng). Trong trường hợp này, khái niệm cấp dưới không hoàn toàn cạn kiệt các cấp dưới.

Ví dụ:

A là một cây;

B thông.

Khái niệm B sẽ phụ thuộc vào khái niệm A. Vì cây thông liên quan đến cây, khái niệm A trở thành ví dụ dưới đây, "hấp thụ" phạm vi của khái niệm B.

Phù hợp (phối hợp)

Mối quan hệ đặc trưng cho hai hoặc nhiều khái niệm loại trừ lẫn nhau, nhưng thuộc về một vòng chung chung nhất định. Ví dụ:

A - clarinet;

B - guitar;

C - violon;

D là một nhạc cụ.

Các khái niệm A, B, C không giao thoa với nhau, tuy nhiên, tất cả chúng thuộc về thể loại nhạc cụ (khái niệm D).

Tương phản (tương phản)

Đối lập quan hệ giữa các khái niệm ngụ ý sự phân chia các khái niệm này với cùng một chi. Trong trường hợp này, một trong những khái niệm có một số tính chất nhất định (thuộc tính), trong khi một từ khác phủ nhận chúng, thay thế nhân vật đối diện. Vì vậy, chúng ta đang đối phó với những từ trái nghĩa. Ví dụ:

A - người lùn;

B là một người khổng lồ.

Vòng Euler, với mối quan hệ ngược lại giữa các khái niệm, được chia thành ba phân đoạn, phần đầu tiên tương ứng với khái niệm A, thứ hai với khái niệm B, và thứ ba đối với tất cả các khái niệm có thể khác.

Mâu thuẫn

Trong trường hợp này, cả hai khái niệm đều là các loài cùng chi. Như trong ví dụ trước, một trong những khái niệm chỉ ra những phẩm chất nhất định (thuộc tính), trong khi cái kia phủ nhận chúng. Tuy nhiên, khác với mối quan hệ ngược lại, thứ hai, khái niệm ngược lại, không thay thế các thuộc tính bị phủ nhận bởi người khác, thay thế. Ví dụ:

A là một vấn đề phức tạp;

B là một công việc không biến chứng (không phải-A).

Thể hiện phạm vi của các khái niệm loại này, vòng tròn Euler được chia thành hai phần - thứ ba, liên kết trung gian trong trường hợp này không tồn tại. Do đó, các khái niệm cũng là những từ trái nghĩa. Trong trường hợp này, một trong số họ (A) trở nên tích cực (khẳng định một số thuộc tính), và chữ B (hoặc không-A) âm thứ hai (từ chối dấu tương ứng): "white paper" - "not white paper", "history domestic" - "lịch sử nước ngoài", v.v.

Như vậy, tỷ lệ khối lượng các khái niệm liên quan đến nhau là đặc điểm chính xác định các vòng tròn Euler.

Quan hệ giữa các bộ

Ngoài ra, cần phải phân biệt các khái niệm về các phần tử và tập hợp, khối lượng phản ánh các vòng tròn Euler. Khái niệm bộ được mượn từ khoa học toán học và có một ý nghĩa khá rộng. Các ví dụ trong logic và toán học hiển thị nó như một tập hợp các đối tượng. Các đối tượng chính là các phần tử của một tập hợp nhất định. "Rất nhiều người, có thể hiểu được như một người" (Georg Kantor, người sáng lập lý thuyết tập hợp).

Chỉ định các bộ được thực hiện bằng chữ cái hoa: A, B, C, D ..., ..., các yếu tố của bộ - chữ thường: a, b, c, d ... vv Ví dụ về bộ này có thể là học sinh trong cùng lớp, Trên một kệ nhất định (hoặc, ví dụ, tất cả sách trong một thư viện cụ thể), các trang trong nhật ký, quả trong rừng, vv

Ngược lại, nếu một bộ nhất định không chứa bất kỳ phần tử nào, nó được gọi là trống rỗng và được biểu thị bởi dấu hiệu của Ø. Ví dụ, tập các điểm giao điểm của các đường song song, bộ giải pháp của phương trình x ² = -5.

Giải quyết vấn đề

Để giải quyết một số lượng lớn các vấn đề, vòng tròn Euler được tích cực sử dụng. Các ví dụ trong logic rõ ràng cho thấy mối quan hệ của các hoạt động hợp lý để thiết lập lý thuyết. Trong trường hợp này, bảng các khái niệm về sự thật được sử dụng. Ví dụ, vòng tròn được chỉ ra bởi tên A là một vùng chân lý. Vì vậy, khu vực bên ngoài vòng tròn sẽ là một lời nói dối. Để xác định diện tích của sơ đồ cho một phép toán hợp lý, cần phải che khu vực xác định vòng tròn Euler, trong đó các giá trị của nó cho các phần tử A và B là đúng.

Việc sử dụng các vòng tròn Euler đã tìm thấy ứng dụng thực tế rộng rãi trong các ngành khác nhau. Ví dụ, trong một tình huống với một sự lựa chọn chuyên nghiệp. Nếu chủ đề này bận rộn với việc lựa chọn một nghề nghiệp tương lai, anh ta có thể được hướng dẫn bởi các tiêu chí sau:

W - Tôi thích làm gì?

D - tôi nhận được những gì?

P - làm thế nào tôi có thể kiếm tiền tốt?

Chúng tôi miêu tả điều này dưới dạng một sơ đồ: Euler circles (ví dụ trong logic là tỷ lệ giao lộ):

Kết quả sẽ là những ngành nghề sẽ là nơi giao cắt của cả ba vòng tròn.

Các vòng tròn Euler-Venn chiếm một vị trí riêng biệt trong toán học (lý thuyết tập hợp) trong việc tính kết hợp và tính chất. Các đường tròn Euler của tập hợp các phần tử được đính kèm trong hình ảnh của hình chữ nhật biểu thị tập phổ (U). Thay vì vòng tròn, những con số khép kín khác cũng có thể được sử dụng, nhưng bản chất của điều này không thay đổi. Các số liệu giao nhau, tùy theo điều kiện của vấn đề (trong trường hợp chung nhất). Ngoài ra, những con số này phải được đánh dấu tương ứng. Vì các yếu tố của các bộ đang được xem xét, các điểm nằm trong các phân đoạn khác nhau của biểu đồ có thể hoạt động. Trên cơ sở của nó, có thể để bóng các khu vực cụ thể, do đó denoting mới được hình thành bộ.

Với các bộ này, có thể thực hiện các phép toán cơ bản: bổ sung (tổng các tập các phần tử), phép trừ (sự khác biệt), nhân (sản phẩm). Ngoài ra, nhờ sơ đồ Euler-Venn, có thể thực hiện các thao tác so sánh các bộ bởi số lượng các phần tử được bao gồm trong chúng, không tính chúng.