Đa giác lồi. Định nghĩa của một đa giác lồi. Các đường chéo của một đa giác lồi

Những hình dạng hình học là tất cả xung quanh chúng ta. Lồi đa giác là tự nhiên, chẳng hạn như một tổ ong hoặc nhân tạo (man thực hiện). Những con số này được sử dụng trong sản xuất các loại khác nhau của lớp phủ trong nghệ thuật, kiến trúc, trang trí, vv đa giác lồi có các tài sản mà điểm của họ nằm ở một bên của một đường thẳng đi qua các cặp đỉnh liền kề của hình hình học. Có định nghĩa khác. Nó được gọi là đa giác lồi, được sắp xếp theo một nửa mặt phẳng đối với bất kỳ đường thẳng chứa một trong các cạnh của nó với.

đa giác lồi

Trong quá trình hình học tiểu học luôn đối xử đa giác cực kỳ đơn giản. Để hiểu được các tính chất của hình học bạn cần hiểu bản chất của họ. Để bắt đầu hiểu rằng đóng là bất kỳ dòng mà đầu đều giống nhau. Và con số được hình thành bởi nó, có thể có một loạt các cấu hình. Đa giác được gọi là polyline khép kín đơn giản mà đơn vị lân cận không được nằm trên một đường thẳng. liên kết và các nút của nó là, tương ứng, các cạnh và đỉnh của hình hình học. Một polyline đơn giản không phải cắt riêng của mình.

đỉnh của đa giác được gọi là các nước láng giềng, trong trường hợp họ là kết thúc của một trong hai bên của nó. Một hình hình học, trong đó có một số n-th các đỉnh, và do đó số n-thứ của các bên được gọi là n-gon. Bản thân bị hỏng dòng là ranh giới hoặc đường viền của hình hình học. mặt phẳng đa giác hoặc đa giác phẳng gọi là phần cuối cùng của bất kỳ máy bay, hạn chế của họ. bên liền kề của hình hình học được gọi là phân đoạn polyline có nguồn gốc từ các đỉnh tương tự. Họ sẽ không hàng xóm nếu chúng được dựa trên các đỉnh khác nhau của đa giác.

định nghĩa khác của đa giác lồi

Trong hình học tiểu học, có một số tương đương trong định nghĩa ý nghĩa, cho thấy những gì được gọi là đa giác lồi. Hơn nữa, tất cả các báo cáo này đều đúng. Một đa giác lồi là một trong đó có:

• mỗi đoạn kết nối bất kỳ hai điểm bên trong nó, nằm hoàn toàn trong nó;

• trong đó nói dối tất cả các đường chéo của nó;

• bất kỳ góc nội thất không lớn hơn 180 °.

Polygon luôn chia mặt phẳng thành hai phần. Một trong số đó - các giới hạn (nó có thể được kèm theo trong một vòng tròn), và người kia - không giới hạn. Là người đầu tiên được gọi là khu vực bên trong, và lần thứ hai - khu vực ngoài của hình hình học. Đây là giao điểm của đa giác (hay nói cách khác - tổng thành phần) một vài nửa máy bay. Như vậy, mỗi đoạn có mục đích tại các điểm thuộc một đa giác hoàn toàn thuộc về anh ấy.

Giống của đa giác lồi

Định nghĩa đa giác lồi không chỉ ra rằng có rất nhiều loại trong số họ. Và mỗi người trong số họ có những tiêu chí nhất định. Như vậy, đa giác lồi, trong đó có một góc bên trong của 180 °, được gọi hơi lồi. Con số hình học lồi có ba đỉnh núi, được gọi là tam giác, bốn - tứ giác, năm - ngũ giác vv Mỗi phòng trong số lồi n-gons đáp ứng các yêu cầu quan trọng sau đây: .. N phải bằng hoặc lớn hơn 3. Mỗi phòng trong số tam giác là lồi. Con số hình học của loại hình này trong đó tất cả các đỉnh nằm trên một vòng tròn, được gọi là vòng tròn ghi. Mô tả đa giác lồi được gọi là nếu tất cả các cạnh của nó xung quanh một vòng tròn chạm vào cô ấy. Hai đa giác được gọi là bình đẳng chỉ trong trường hợp khi sử dụng lớp phủ có thể được kết hợp. đa giác phẳng gọi là mặt phẳng đa giác (một phần mặt phẳng) mà hình hình học giới hạn này.

đa giác đều lồi

đa giác thường xuyên gọi hình dạng hình học với các góc và mặt bằng. Bên trong chúng có một điểm 0, đó là cùng một khoảng cách từ mỗi đỉnh của nó. Nó được gọi là trung tâm của hình hình học. Đường nối trung tâm với các đỉnh của hình hình học được gọi là apothem, và những kết nối các điểm 0 với các bên - bán kính.

Đúng hình chữ nhật - vuông. tam giác đều được gọi là giác đều. Đối với hình dạng như vậy có quy tắc sau: mỗi góc đa giác lồi là 180 ° * (n-2) / n,

trong đó n - số đỉnh của hình hình học lồi.

Diện tích của bất kỳ đa giác thường xuyên được xác định theo công thức:

S = p * h,

trong đó p là bằng một nửa tổng của tất cả các bên của đa giác, và h là chiều dài apothem.

Thuộc tính đa giác lồi

Lồi đa giác có tính chất nhất định. Do đó, phân khúc kết nối bất kỳ hai điểm của một nhân vật hình học, nhất thiết phải nằm trong đó. bằng chứng:

Giả sử rằng P - đa giác lồi. Mất hai điểm tùy ý, ví dụ, A và B, thuộc P. Bằng cách định nghĩa hiện tại của một đa giác lồi, những điểm này đều nằm ở một phía của đường thẳng chứa bất kỳ hướng R. Do đó, AB cũng có tài sản này và được chứa trong R. Một đa giác lồi luôn có thể được chia thành nhiều hình tam giác hoàn toàn tất cả các đường chéo, trong đó tổ chức một trong những đỉnh của nó.

Góc hình học lồi

Các góc của một đa giác lồi - là góc độ mà được hình thành bởi các bên. góc bên trong nằm trong khu vực bên trong của hình hình học. Góc mà được hình thành bởi các cạnh của nó mà hội tụ tại một đỉnh, được gọi là góc của đa giác lồi. Góc liền kề để các góc bên trong của hình hình học, được gọi là bên ngoài. Mỗi góc của một đa giác lồi, sắp xếp bên trong nó, là:

180 ° - x

trong đó x - giá trị bên ngoài góc. công thức đơn giản này được áp dụng cho bất kỳ loại hình dạng hình học như vậy.

Nói chung, đối với các góc bên ngoài tồn tại theo quy tắc: mỗi góc đa giác lồi bằng chênh lệch giữa 180 ° và giá trị của góc nội thất. Nó có thể có giá trị khác nhau, từ -180 ° đến 180 °. Do đó, khi các góc bên trong là 120 °, sự xuất hiện sẽ có giá trị là 60 °.

Tổng các góc của đa giác lồi

Tổng các góc bên trong của một đa giác lồi được thành lập theo công thức:

180 ° * (n-2),

trong đó n - số đỉnh của n-gon.

Tổng số góc của một đa giác lồi được tính khá đơn giản. Xem xét bất kỳ hình dạng hình học như vậy. Để xác định tổng các góc trong một đa giác lồi cần phải kết nối với một trong các đỉnh của nó đến đỉnh khác. Như một kết quả của hành động này biến (n-2) của tam giác. Được biết, tổng các góc của tam giác bất kỳ lúc nào cũng là 180 °. Bởi vì số lượng của họ trong bất kỳ đa giác bằng (n-2), tổng các góc bên trong của con số này tương đương với 180 ° x (n-2).

Số tiền góc đa giác lồi, cụ thể là, bất kỳ hai góc nội bộ và bên ngoài liền kề với họ, trong hình hình học lồi này sẽ luôn bằng 180 °. Trên cơ sở này, chúng tôi có thể xác định tổng của tất cả các góc của nó:

180 x n.

Tổng các góc nội thất là 180 ° * (n-2). Theo đó, tổng của tất cả các góc ngoài của nhân vật được thiết lập bởi công thức:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Tổng các góc bên ngoài của bất kỳ đa giác lồi sẽ luôn bằng 360 ° (không phụ thuộc vào số lượng mặt của nó).

góc ngoài của một đa giác lồi thường được thể hiện bằng sự khác biệt giữa 180 ° và giá trị của góc nội thất.

Các tài sản khác của một đa giác lồi

Bên cạnh các tính chất cơ bản của dữ liệu hình học, họ cũng có khác, mà xảy ra khi xử lý chúng. Do đó, bất kỳ đa giác có thể được chia thành nhiều lồi n-gons. Để làm điều này, tiếp tục cho mỗi bên và cắt hình dạng hình học dọc theo những đường thẳng. Tách bất kỳ đa giác thành nhiều phần lồi có thể và để phía trên cùng của mỗi người trong số các mảnh trùng với tất cả các đỉnh của nó. Từ một con số hình học có thể rất đơn giản để làm cho hình tam giác qua tất cả các đường chéo từ một đỉnh. Do đó, bất kỳ đa giác, cuối cùng, có thể được chia thành một số lượng nhất định các hình tam giác, mà là rất hữu ích trong việc giải quyết các nhiệm vụ khác nhau liên quan đến hình dạng hình học như vậy.

Chu vi của đa giác lồi

Các phân đoạn của polyline, tiệc tùng đa giác gọi là, thường được biểu thị bằng các chữ cái sau đây: ab, bc, cd, de, ea. bên này của một nhân vật hình học với đỉnh a, b, c, d, e. Tổng độ dài của các cạnh của một đa giác lồi được gọi là chu vi của nó.

Chu vi của đa giác

Lồi đa giác có thể được nhập vào và được mô tả. Vòng tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình hình học, được gọi là ghi vào nó. Đa giác này được gọi là mô tả. Vòng tròn trung tâm được ghi trong đa giác là một điểm giao nhau của bisectors của góc trong một hình dạng hình học nhất định. Diện tích của đa giác bằng:

S = p * r,

nơi r - bán kính của vòng tròn ghi, và p - semiperimeter đa giác này.

Một vòng tròn chứa các đỉnh đa giác, gọi là mô tả gần nó. Hơn nữa, con số hình học lồi này được gọi là ghi. Trung tâm vòng tròn, được mô tả về một đa giác như là một điểm giao nhau cái gọi là midperpendiculars tất cả các bên.

Diagonal hình dạng hình học lồi

Các đường chéo của một đa giác lồi - một đoạn kết nối không láng giềng đỉnh. Mỗi trong số họ là bên trong hình hình học này. Số lượng các đường chéo của n-gon được thiết lập theo công thức:

N = n (n - 3) / 2.

Số lượng các đường chéo của một đa giác lồi đóng một vai trò quan trọng trong việc hình học tiểu học. Số lượng các hình tam giác (K), có thể phá vỡ tất cả các đa giác lồi, tính theo công thức sau:

K = n - 2.

Số lượng các đường chéo của một đa giác lồi luôn luôn phụ thuộc vào số lượng các đỉnh.

Phân vùng của một đa giác lồi

Trong một số trường hợp, để giải quyết nhiệm vụ hình học cần thiết để phá vỡ một đa giác lồi thành nhiều hình tam giác với đường chéo không giao nhau. Vấn đề này có thể được giải quyết bằng cách loại bỏ một công thức nhất định.

Xác định vấn đề: gọi đúng loại phân vùng của một lồi n-gon thành nhiều hình tam giác bằng đường chéo cắt nhau mà chỉ tại các đỉnh của một hình hình học.

Giải pháp: Giả sử P1, P2, P3, ..., Pn - phía trên cùng của n-gon. Số Xn - số lượng các phân vùng của nó. Cẩn thận xem xét các kết quả hình hình học đường chéo Pi Pn. Trong bất kỳ phân vùng thường xuyên P1 Pn thuộc về một hình tam giác đặc biệt P1 Pi Pn, trong đó 1

Hãy i = 2 là một nhóm các phân vùng thường xuyên, luôn luôn có chứa đường chéo P2 Pn. Số lượng các phân vùng được bao gồm trong nó, tương đương với số lượng phân vùng (n-1) -gon P2 P3 P4 ... Pn. Nói cách khác, nó tương đương với Xn-1.

Nếu i = 3, sau đó các phân vùng nhóm khác sẽ luôn luôn chứa một P3 P1 chéo và P3 Pn. Số lượng các phân vùng đúng được chứa trong nhóm, sẽ trùng với số lượng phân vùng (n-2) -gon P3, P4 ... Pn. Nói cách khác, nó sẽ được Xn-2.

Hãy i = 4, sau đó các tam giác giữa các phân vùng đúng là ràng buộc để chứa một hình tam giác P1 Pn P4, mà sẽ tiếp giáp với tứ giác P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P5 P4 ... Pn. Số lượng các phân vùng đúng tứ giác đó bằng X4, và số lượng các phân vùng (n-3) -gon bằng Xn-3. Dựa trên quy định trên, chúng ta có thể nói rằng tổng số các phân vùng thường xuyên được chứa trong nhóm này bằng Xn-3 X4. Các nhóm khác, trong đó i = 4, 5, 6, 7 ... sẽ chứa 4 Xn-X5, Xn-5 X6, Xn-6 ... X7 phân vùng thông thường.

Hãy i = n-2, số lượng các phân vùng đúng trong một nhóm nhất định sẽ trùng với số lượng phân vùng trong nhóm, trong đó i = 2 (hay nói cách khác, bằng Xn-1).

Kể từ khi X1 = X2 = 0, X3 = 1 và X4 = 2, ..., số lượng các phân vùng của đa giác lồi là:

Xn = xn-1 + xn-2 + xn-3, xn-X4 + X5 + 4 ... + X 5 + 4 xn-xn-X 4 + 3 + 2 xn-xn-1.

Ví dụ:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X4 + X5 + X4 + X5 = 14

X7 + X5 = X6 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X7 = X8 + X6 + X4 * X5 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Số lượng các phân vùng đúng giao nhau trong vòng một đường chéo

Khi kiểm tra các trường hợp cá nhân, nó có thể được giả định rằng số đường chéo của n-gon lồi bằng với sản phẩm của tất cả các phân vùng của mẫu biểu đồ này (n-3).

Các bằng chứng về giả định này: giả sử rằng P1n = Xn * (n-3), sau đó bất kỳ n-gon có thể được chia thành (n-2) là một hình tam giác. Trong trường hợp này một trong số họ có thể được xếp chồng lên nhau (n-3) -chetyrehugolnik. Đồng thời, mỗi tứ giác là đường chéo. Kể từ khi con số hình học lồi này hai đường chéo có thể được thực hiện, có nghĩa là trong bất kỳ (n-3) -chetyrehugolnikah có thể tiến hành thêm đường chéo (n-3). Trên cơ sở này, chúng ta có thể kết luận rằng tại bất kỳ phân vùng thích hợp có một cơ hội để (n-3) họp -diagonali các yêu cầu của nhiệm vụ này.

Diện tích đa giác lồi

Thông thường, trong việc giải quyết vấn đề khác nhau của hình học tiểu học ở đó là một nhu cầu để xác định diện tích của một đa giác lồi. Giả sử rằng (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n đại diện cho một chuỗi các tọa độ của tất cả các đỉnh lân cận của đa giác, không có tự ngã tư. Trong trường hợp này, diện tích của nó được tính theo công thức sau:

_{S = ½ (Σ (X i} + X i + ₁₎ (Y _{i +} Y _i + _1)),

trong đó (X _1, Y _{1) = (X n +1, Y} n + _1).