Phương pháp lặp lại đơn giản để giải quyết các hệ thống phương trình tuyến tính (SLAE)

Phương pháp lặp lại đơn giản, còn được gọi là phương pháp ước lượng kế tiếp, là một thuật toán toán học để tìm giá trị của một số lượng không rõ bằng cách sàng lọc dần dần. Bản chất của phương pháp này là, như tên gọi, dần dần phát triển từ xấp xỉ ban đầu, những cái tiếp theo nhận được nhiều hơn và nhiều hơn nữa các kết quả tinh tế. Phương pháp này được sử dụng để tìm giá trị của một biến trong một hàm nhất định, cũng như để giải các hệ phương trình, cả tuyến tính và phi tuyến.

Chúng ta hãy xem xét phương pháp này được thực hiện như thế nào trong việc giải quyết SLAE. Phương pháp lặp lại đơn giản có thuật toán sau:

1. Kiểm chứng việc hoàn thành điều kiện hội tụ trong ma trận gốc. Định lý hội tụ: nếu ma trận ban đầu của hệ thống có độ ưu thế đường chéo (nghĩa là, trong mỗi đường, các phần tử của đường chéo chính nên lớn hơn trong mô đun hơn tổng của các phần tử của các đường chéo song song theo modulo), thì phương pháp lặp lại đơn giản là hội tụ.

2. Ma trận của hệ thống ban đầu không phải lúc nào cũng có sự vượt trội đường chéo. Trong những trường hợp như vậy, hệ thống có thể được chuyển đổi. Các phương trình thỏa mãn điều kiện hội tụ không bị ảnh hưởng, và với các kết hợp tuyến tính không thỏa mãn, tức là Nhân, trừ, thêm các phương trình với nhau cho đến khi đạt được kết quả mong muốn.

Nếu trong hệ thống kết quả có hệ số bất tiện trên đường chéo chính, sau đó đến cả hai phần của phương trình như vậy thêm các thuật ngữ của mẫu với _i * x _{i, các} dấu hiệu đó phải trùng với các dấu hiệu của các yếu tố chéo.

3. Chuyển đổi hệ thống thu được thành dạng bình thường:

X ^- = β ^- + α * x ^-

Điều này có thể được thực hiện bằng nhiều cách khác nhau, ví dụ: từ phương trình đầu tiên, biểu diễn x ₁ thông qua các ẩn số khác, từ lần thứ hai x ₂ , từ lần thứ ba x ₃ , v.v ... Chúng tôi sử dụng các công thức sau:

Α _ij = - (a _ij / a _ii)

_I = b _i / a _ii
Một lần nữa cần phải xác minh rằng hệ thống kết quả của hình thức bình thường tương ứng với điều kiện hội tụ:

Σ (j = 1) | α _ij | ≤ 1, với i = 1,2, ... n

4. Chúng tôi bắt đầu áp dụng, trên thực tế, phương pháp xấp xỉ kế tiếp.

X ^{( 0)} là xấp xỉ ban đầu, chúng ta biểu diễn x ^{( 1)} thông qua nó, sau đó chúng ta biểu diễn x ^{( 2)} bởi x ^{( t )} . Công thức chung trong hình thức ma trận như sau:

X ^(N) = β ^- + α * x ^(n-1)

Chúng tôi tính cho đến khi đạt được độ chính xác yêu cầu:

Max | xi (k) -xi (k + 1) ≤ ε

Vì vậy, chúng ta hãy phân tích trong thực tế phương pháp lặp lại đơn giản. Ví dụ:
Quyết định SLAU:

4,5x1-1,7x2 + 3,5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 với độ chính xác ε = 10 ^-3

Hãy xem nếu các yếu tố chéo chiếm ưu thế trong mô đun.

Chúng ta thấy rằng chỉ có phương trình thứ ba thỏa mãn điều kiện hội tụ. Thứ nhất và thứ hai chúng ta biến đổi, đến phương trình đầu tiên chúng ta thêm vào thứ hai:

7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3

Từ lần thứ ba chúng ta trừ đi phần đầu tiên:

-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

Chúng tôi đã chuyển đổi hệ thống ban đầu thành một hệ thống tương đương:

7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3
-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

Bây giờ chúng tôi mang hệ thống đến một hình thức bình thường:

X1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
X2 = 0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
X3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

Chúng tôi kiểm tra sự hội tụ của quá trình lặp đi lặp lại:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0,383 + 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, nghĩa là Điều kiện là hài lòng.

0.3957
Xấp xỉ ban đầu x ^{( 0)} = 0,4762
0,8511

Chúng ta thay thế các giá trị này vào phương trình của dạng bình thường, chúng ta có các giá trị sau:

0.08835
X ⁽¹⁾ = 0.486793
0,446639

Thay các giá trị mới, chúng ta nhận được:

0.215243
X ⁽²⁾ = 0.405396
0.558336

Tiếp tục tính toán cho đến khi chúng ta tiếp cận các giá trị thỏa mãn điều kiện nhất định.

0,18813

X ⁽⁷⁾ = 0.441091

0.544319

0,188002

X ⁽⁸⁾ = 0.44164

0.544428

Hãy kiểm tra tính đúng đắn của kết quả:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2.0003
3.1 * 0.1880 + 2.3 * 0.441-1.1x * 0.544 = 0.9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

Các kết quả thu được bằng cách thay thế các giá trị tìm thấy trong các phương trình ban đầu hoàn toàn thỏa mãn các điều kiện của phương trình.

Như chúng ta đã thấy, phương pháp lặp lại đơn giản cho kết quả khá chính xác, nhưng để giải quyết phương trình này, chúng ta phải mất nhiều thời gian và thực hiện rất nhiều tính toán cồng kềnh.