Lý thuyết xác suất. Xác suất của một sự kiện, thỉnh thoảng sự kiện (lý thuyết xác suất). phát triển độc lập và không tương thích trong lý thuyết xác suất

Không chắc rằng nhiều người đang tự hỏi liệu có thể tính toán các sự kiện mà đến một mức độ nào đó vô tình. Nói một cách đơn giản, thật sự có thể biết được bên nào của xúc xắc trong xúc xắc sẽ giảm lần sau. Chính câu hỏi này đã hỏi hai nhà khoa học vĩ đại đã khởi xướng một khoa học như lý thuyết xác suất, xác suất của một sự kiện trong đó được nghiên cứu khá rộng rãi.

Nguồn gốc

Nếu chúng ta cố gắng xác định một khái niệm như lý thuyết xác suất, thì kết quả sau sẽ được thu thập: đây là một trong những nhánh của toán học đề cập đến nghiên cứu về sự không thay đổi của các sự kiện ngẫu nhiên. Rõ ràng khái niệm này không thực sự tiết lộ toàn bộ quan điểm, do đó cần phải xem xét chi tiết hơn.

Tôi muốn bắt đầu với những người sáng lập lý thuyết. Như đã đề cập ở trên, có hai trong số họ, đây là Pierre Fermat và Blaise Pascal. Họ là một trong những người đầu tiên sử dụng các công thức và tính toán toán học để tính toán kết quả của sự kiện. Nói chung, sự khởi đầu của khoa học này thể hiện bản thân trong thời Trung Cổ. Vào thời điểm đó, nhiều nhà tư tưởng và nhà khoa học đã cố gắng để phân tích cờ bạc, chẳng hạn như roulette, xương và như vậy, do đó thiết lập tỷ lệ thường xuyên và tỷ lệ phần trăm của sự sụp đổ của một số cụ thể. Nền tảng này được các nhà khoa học nêu trên đặt vào thế kỷ XVII.

Ban đầu, các tác phẩm của họ không thể gán cho những thành tựu to lớn trong lĩnh vực này, bởi vì tất cả những gì họ làm chỉ là các sự kiện thực nghiệm, và những thí nghiệm được hình dung mà không sử dụng các công thức. Theo thời gian, nó hóa ra để đạt được kết quả tuyệt vời, xuất hiện do quan sát của ném xương. Đó là công cụ giúp cho các công thức dễ hiểu đầu tiên.

Những người có cùng chí hướng

Không thể không đề cập đến một người như Christian Huygens, trong quá trình nghiên cứu chủ đề được gọi là "lý thuyết xác suất" (xác suất của sự kiện được trình bày trong khoa học này). Người này rất thú vị. Ông, cũng như các nhà khoa học đã trình bày ở trên, đã cố gắng để có được các luật của sự kiện ngẫu nhiên dưới dạng các công thức toán học. Đáng chú ý là ông không làm điều đó cùng với Pascal và Fermat, nghĩa là tất cả các tác phẩm của ông không chồng chéo với những tư tưởng này. Huygens đã đưa ra các khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất.

Điều thú vị là tác phẩm của ông đã được xuất bản lâu trước khi kết quả của các tác phẩm của những người phát hiện, hay đúng hơn, hai mươi năm về trước. Trong số các khái niệm được chỉ định, nổi tiếng nhất là:

• Khái niệm xác suất là mức độ của một cơ hội;
• Kỳ vọng toán học đối với các trường hợp rời rạc;
• Các định lý nhân và bổ sung xác suất.

Cũng không thể không nhắc đến Jakob Bernoulli, người cũng có đóng góp đáng kể cho việc nghiên cứu vấn đề này. Tiến hành riêng của mình, không ai kiểm tra độc lập, ông đã đưa ra một bằng chứng về luật số lượng lớn. Đổi lại, các nhà khoa học của Poisson và Laplace, những người đã làm việc vào đầu thế kỷ XIX, đã có thể chứng minh các định lý ban đầu. Đó là từ thời điểm này để sử dụng lý thuyết xác suất để phân tích lỗi trong quá trình quan sát. Các nhà khoa học Nga, hay chính xác hơn Markov, Chebyshev và Diapunov cũng không thể bỏ qua khoa học này. Họ, dựa trên công việc của các thiên tài vĩ đại, đã sửa chủ đề này như một phần của toán học. Những con số này đã làm việc vào cuối thế kỷ XIX và nhờ đóng góp của họ, những hiện tượng như:

• Luật số lượng lớn;
• Lý thuyết về chuỗi Markov;
• Định lý giới hạn trung tâm.

Vì vậy, với lịch sử sự ra đời của khoa học và với những người chính yếu đã ảnh hưởng đến nó, mọi thứ đều ít nhiều rõ ràng. Bây giờ là lúc để cụ thể hóa tất cả các sự kiện.

Khái niệm cơ bản

Trước khi đề cập đến các định luật và định lý, cần nghiên cứu các khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất. Sự kiện trong đó đóng vai trò chi phối. Chủ đề này khá phóng túng, nhưng không có nó, bạn sẽ không thể hiểu mọi thứ khác.

Sự kiện trong lý thuyết xác suất là Bất kỳ tập hợp các kết quả của kinh nghiệm. Không có nhiều khái niệm về hiện tượng này. Vì vậy, nhà khoa học Lotman, người làm việc trong lĩnh vực này, nói rằng trong trường hợp này nó là về những gì "xảy ra, mặc dù nó không thể xảy ra".

Sự kiện ngẫu nhiên (lý thuyết xác suất quan tâm đặc biệt đến chúng) là một khái niệm hàm ý hoàn toàn bất kỳ hiện tượng nào có thể xảy ra. Hoặc ngược lại, kịch bản này có thể không xảy ra khi đáp ứng nhiều điều kiện. Cũng cần phải biết rằng đó là những sự kiện ngẫu nhiên nắm bắt toàn bộ khối lượng của hiện tượng xảy ra. Lý thuyết xác suất chỉ ra rằng tất cả các điều kiện có thể được lặp lại tất cả thời gian. Đó là hành vi của họ được gọi là "kinh nghiệm" hoặc "thử nghiệm".

Một sự kiện nhất định là một hiện tượng sẽ xảy ra hoàn toàn trong thử nghiệm này. Theo đó, một sự kiện không thể xảy ra là không xảy ra.

Kết hợp một cặp hành động (điều kiện A và trường hợp B) là hiện tượng xảy ra đồng thời. Chúng được biểu thị là AB.

Tổng của cặp các sự kiện A và B là C, nói cách khác, nếu có ít nhất một trong số chúng xảy ra (A hoặc B) thì kết quả là C. Công thức cho hiện tượng mô tả được viết là: C = A + B

Các sự kiện không chung trong lý thuyết xác suất cho thấy hai trường hợp loại trừ lẫn nhau. Đồng thời họ không thể xảy ra trong mọi trường hợp. Các sự kiện chung trong lý thuyết xác suất là sự phản đối của chúng. Ở đây có nghĩa là nếu A xảy ra, thì nó không ngăn được V.

Các sự kiện đối nghịch (lý thuyết xác suất xử lý chúng một cách chi tiết) rất dễ hiểu. Cách tốt nhất để đối phó với chúng là so sánh. Chúng gần giống như các sự kiện không nhất quán trong lý thuyết xác suất. Nhưng sự khác biệt của họ nằm ở thực tế là một trong nhiều hiện tượng trong mọi trường hợp nên xảy ra.

Các sự kiện tương tự có thể xảy ra là những hành động có khả năng lặp lại bằng nhau. Để được rõ ràng hơn, bạn có thể tưởng tượng ném một đồng xu: sự sụp đổ của một trong những mặt của nó là bằng nhau có thể là sự sụp đổ của người khác.

Một sự kiện thuận lợi được xem xét dễ dàng hơn bằng một ví dụ. Giả sử có một tập B và một tập A. Bước đầu tiên là một cuộn của dice với sự xuất hiện của một số lẻ, và thứ hai là sự xuất hiện của số năm trên khối lập phương. Sau đó hóa ra rằng A thuận lợi cho B.

Các sự kiện độc lập trong lý thuyết xác suất được dự đoán chỉ trong hai hoặc nhiều trường hợp và ngụ ý sự độc lập của một số hành động từ bên kia. Ví dụ, A - bỏ một đuôi trong khi ném một đồng xu, và B - nhận được một jack từ boong. Đây là những sự kiện độc lập trong lý thuyết xác suất. Với thời điểm này nó trở nên rõ ràng hơn.

Các sự kiện phụ thuộc vào lý thuyết xác suất cũng chỉ được chấp nhận đối với tập của họ. Chúng bao hàm sự phụ thuộc lẫn nhau, nghĩa là hiện tượng B có thể xảy ra chỉ khi A đã xảy ra hoặc ngược lại đã không xảy ra, khi đây là điều kiện chính cho V.

Kết quả của một thí nghiệm ngẫu nhiên bao gồm một thành phần là các sự kiện cơ bản. Lý thuyết xác suất giải thích rằng đây là hiện tượng đã xảy ra chỉ một lần.

Công thức cơ bản

Vì vậy, các khái niệm "sự kiện", "lý thuyết xác suất" đã được xem xét ở trên, định nghĩa các thuật ngữ cơ bản của khoa học này cũng được đưa ra. Bây giờ là lúc để làm quen với các công thức quan trọng. Những biểu thức toán học xác nhận tất cả các khái niệm chính trong một chủ đề phức tạp như lý thuyết xác suất. Khả năng của sự kiện này đóng một vai trò rất lớn ở đây.

Tốt nhất là bắt đầu với các công thức cơ bản của tổ hợp. Và trước khi bạn tiến hành với họ, bạn nên xem xét nó là gì.

Combinatorics chủ yếu là một nhánh của toán học, nó liên quan đến việc nghiên cứu một số lượng lớn các số nguyên, cũng như các hoán vị khác nhau của các con số, các phần tử của chúng, các dữ liệu khác ... dẫn đến sự xuất hiện của một số kết hợp. Ngoài lý thuyết xác suất, ngành này rất quan trọng cho thống kê, khoa học máy tính và mật mã.

Vì vậy, bây giờ bạn có thể tiến hành để đại diện của các công thức và định nghĩa của họ.

Việc đầu tiên trong số này sẽ là một biểu hiện cho số lượng các hoán vị, nó trông như thế này:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Phương trình chỉ được sử dụng nếu các phần tử khác nhau theo thứ tự của vị trí của chúng.

Bây giờ công thức vị trí sẽ được xem xét, hình như:

A_n ^ m = n ⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n-m + 1) = n! : (N - m)!

Cụm từ này không chỉ áp dụng cho thứ tự vị trí của phần tử, mà còn đối với thành phần của nó.

Phương trình thứ ba của tổ hợp, và nó là thứ hai, được gọi là công thức cho số kết hợp:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Một kết hợp là một mẫu không được sắp xếp, tương ứng, và quy tắc này áp dụng cho chúng.

Với công thức tổ hợp, có thể phân loại ra mà không gặp khó khăn, bây giờ chúng ta có thể tiến tới định nghĩa cổ điển về xác suất. Biểu thức này như sau:

P (A) = m: n.

Trong công thức này, m là số các điều kiện thuận lợi cho sự kiện A, và n là số kết quả hoàn toàn có thể và cơ bản.

Có rất nhiều cách diễn đạt, bài báo sẽ không bao gồm tất cả mọi thứ, nhưng những điều quan trọng nhất sẽ bị ảnh hưởng, chẳng hạn như xác suất của tổng các sự kiện:

P (A + B) = P (A) + P (B) là định lý để thêm các sự kiện không tương thích;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - cái này để bổ sung chỉ tương thích.

Xác suất của sự kiện:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) là định lý cho các sự kiện độc lập;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A), P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A, B)), và điều này cho những người phụ thuộc.

Kết thúc danh sách các công thức sự kiện. Lý thuyết xác suất cho chúng ta biết về định lý Bayes, trông như sau:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) n n P (H_k) P (AHH_k)), m = 1, N

Trong công thức này, H ₁ , H ₂ , ..., H _n là một bộ giả thuyết hoàn chỉnh.

Chúng ta sẽ đề cập đến vấn đề này, chúng ta sẽ tiếp tục xem xét các ví dụ về áp dụng các công thức để giải quyết các vấn đề cụ thể từ thực tiễn.

Ví dụ

Nếu bạn cẩn thận học bất kỳ phần của toán học, nó không làm mà không có bài tập và các giải pháp mẫu. Vì vậy, lý thuyết xác suất: các sự kiện, các ví dụ ở đây là một thành phần không thể tách rời, xác nhận tính toán khoa học.

Công thức cho số hoán vị

Hãy nói rằng có ba mươi thẻ trong một boong bài, bắt đầu với mệnh giá một. Câu hỏi tiếp theo. Làm thế nào nhiều cách có cách để gấp lại boong để các thẻ với mệnh giá một và hai không được đặt cạnh nhau?

Nhiệm vụ được thiết lập, bây giờ chúng ta hãy tiếp tục giải pháp của nó. Trước tiên, chúng ta cần phải xác định số hoán vị của ba mươi phần tử, vì chúng ta lấy công thức trên, chúng ta nhận được P_30 = 30!

Dựa vào quy tắc này, chúng ta sẽ học được bao nhiêu tùy chọn để gấp lại màn hình theo những cách khác nhau, nhưng chúng ta cần phải trừ đi những người trong đó những thẻ đầu tiên và thứ hai sẽ được tiếp theo. Để làm điều này, chúng ta bắt đầu với tùy chọn, khi cái đầu tiên là ở trên thứ hai. Nó chỉ ra rằng thẻ đầu tiên có thể lấy chín mươi chín địa điểm - từ ngày đầu tiên đến ngày thứ hai mươi chín, và thẻ thứ hai từ thứ hai đến ngày 30, bạn chỉ có hai mươi chín chỗ cho một đôi thẻ. Ngược lại, phần còn lại có thể có hai mươi tám địa điểm, và trong một trật tự tùy ý. Nghĩa là, cho sự trao đổi của hai mươi tám thẻ có hai mươi tám biến thể P_28 = 28!

Cuối cùng, hóa ra rằng nếu chúng ta xem xét giải pháp, khi thẻ đầu tiên là qua thứ hai, các khả năng thêm sẽ trở thành được 29 ⋅ 28! = 29!

Sử dụng phương pháp tương tự, bạn cần phải tính số lượng các tùy chọn dự phòng cho trường hợp thẻ đầu tiên nằm dưới thẻ thứ hai. Hóa ra cũng 29 ⋅ 28! = 29!

Từ điều này nó sau đó các tùy chọn thêm 2 ⋅ 29!, Trong khi những cách cần thiết để thu thập một boong 30! - 2 ⋅ 29!. Nó vẫn chỉ để đếm.

30! = 29! ⋅ 30; 30 - 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Bây giờ chúng ta cần nhân tất cả các con số từ một đến hai mươi chín, sau đó nhân lên mọi thứ bằng 28. Cuối cùng, chúng ta nhận được 2,4757335 ⋅ 〖10〗 ^ 32

Giải pháp của ví dụ. Công thức cho số vị trí

Trong nhiệm vụ này, cần phải tìm ra có bao nhiêu cách để đặt mười lăm quyển trên một kệ, nhưng với điều kiện là tất cả các tập đều ba mươi.

Trong vấn đề này, giải pháp này hơi đơn giản hơn so với chương trình trước đó. Sử dụng công thức đã biết, cần tính toán tổng số sắp xếp từ ba mươi đến mười lăm.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Câu trả lời tương ứng sẽ là 202 843 204 931 727 360 000.

Bây giờ chúng ta hãy lấy công việc một chút phức tạp hơn. Cần phải tìm ra có bao nhiêu cách để đặt ba mươi cuốn sách trên hai giá sách, với điều kiện chỉ có mười lăm quyển có thể nằm trên một kệ.

Trước khi bắt đầu giải pháp, tôi muốn làm rõ rằng một số vấn đề được giải quyết bằng nhiều cách, do đó, có hai cách trong đó, nhưng cả hai đều sử dụng cùng một công thức.

Trong nhiệm vụ này, chúng ta có thể lấy câu trả lời từ câu hỏi trước, bởi vì chúng ta đã tính toán có bao nhiêu lần có thể điền vào kệ cho mười lăm sách theo những cách khác nhau. Hóa ra là A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Kệ thứ hai sẽ được tính theo công thức hoán vị, vì mười lăm quyển sách được đặt trong đó, trong khi chỉ còn lại mười lăm cuốn sách. Chúng ta sử dụng công thức P_15 = 15!

Nó chỉ ra rằng tổng sẽ là A_30 ^ 15 ⋅ P_15 cách, nhưng bên cạnh đó, sản phẩm của tất cả các số từ ba mươi đến mười sáu sẽ phải được nhân với sản phẩm của số từ một đến mười lăm, cuối cùng chúng tôi nhận được sản phẩm của tất cả các số từ một đến ba mươi, đó là câu trả lời Bằng 30!

Nhưng nhiệm vụ này có thể được giải quyết theo một cách khác - nó dễ dàng hơn. Để làm điều này, bạn có thể tưởng tượng rằng có một kệ cho ba mươi cuốn sách. Tất cả chúng được đặt trên máy bay này, nhưng vì điều kiện đòi hỏi có hai kệ, sau đó chúng tôi cắt một cây cưa dài trong một nửa, hai đến mười lăm. Từ này nó chỉ ra rằng các biến thể của sự sắp xếp có thể được P_30 = 30!

Giải pháp của ví dụ. Công thức cho số kết hợp

Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một biến thể của vấn đề thứ ba từ tổ hợp. Cần phải tìm ra có bao nhiêu cách để sắp xếp mười lăm quyển sách, miễn là bạn cần phải chọn từ ba mươi hoàn toàn giống hệt nhau.

Đối với giải pháp, tất nhiên, công thức cho số lượng kết hợp sẽ được áp dụng. Từ điều kiện nó trở nên rõ ràng rằng thứ tự của mười lăm cuốn sách giống nhau không phải là quan trọng. Do đó, ban đầu cần phải tìm ra tổng số kết hợp của ba mươi cuốn sách của mười lăm.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155 117 520

Đó là tất cả. Sử dụng công thức này, trong thời gian ngắn nhất có thể giải quyết được vấn đề đó, câu trả lời tương ứng là 155 117 520.

Giải pháp của ví dụ. Định nghĩa cổ điển về xác suất

Sử dụng công thức ở trên, bạn có thể tìm thấy câu trả lời trong một công việc đơn giản. Nhưng điều này sẽ giúp nhìn trực quan để xem và theo các quá trình hành động.

Trong vấn đề nó được cho rằng có mười quả bóng hoàn toàn giống hệt nhau trong urn. Trong số này, bốn màu vàng và sáu màu xanh lam. Một quả bóng được lấy từ quả urn. Bạn cần phải biết xác suất nhận được màu xanh lam.

Để giải quyết vấn đề, cần phải xác định việc nhận quả bóng màu xanh của sự kiện A. Kinh nghiệm này có thể có mười kết quả, do đó, lần lượt, là tiểu học và cũng có thể. Đồng thời, trong mười mười sáu là thuận lợi cho sự kiện A. Chúng tôi quyết định theo công thức:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Áp dụng công thức này, chúng tôi đã biết được rằng khả năng dostavaniya bóng màu xanh là 0,6.

Ví dụ về các giải pháp. Xác suất của lượng sự kiện

Ai sẽ là một biến thể được giải quyết bằng cách sử dụng công thức xác suất số tiền các sự kiện. Vì vậy, với điều kiện là có hai trường hợp, một trong những đầu tiên là màu xám và năm quả màu trắng, trong khi thứ hai - những quả bóng màu trắng xám Tám và bốn. Kết quả là, các hộp đầu tiên và thứ hai đã đưa vào một trong số họ. Nó là cần thiết để tìm hiểu các cơ hội mà thiếu những quả bóng có màu xám và trắng là gì.

Để giải quyết vấn đề này, nó là cần thiết để xác định sự kiện này.

• Như vậy, A - chúng tôi có một bóng xám của hộp đầu tiên: P (A) = 1/6.
• A '- bóng đèn trắng cũng lấy từ hộp đầu tiên: P (A') = 5/6.
• Các - đã chiết xuất quả bóng màu xám của ống dẫn thứ hai: P (B) = 2/3.
• B '- mất một quả bóng màu xám của ngăn kéo thứ hai: P (B') = 1/3.

Theo vấn đề nó là cần thiết rằng một trong những hiện tượng đã xảy ra: AB 'hoặc' B. Sử dụng các công thức, ta có: P (AB ') = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Bây giờ công thức của nhân xác suất được sử dụng. Tiếp theo, để tìm ra câu trả lời, bạn cần phải áp dụng phương trình của họ thêm:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

Đó là như thế nào, sử dụng công thức, bạn có thể giải quyết vấn đề như vậy.

kết quả

Bài viết đã được trao cho các thông tin về "lý thuyết xác suất", xác suất của sự kiện đóng một vai trò quan trọng. Tất nhiên, không phải tất cả mọi thứ đã được xem xét, nhưng trên cơ sở các văn bản trình bày, bạn có lý thuyết có thể làm quen với chi nhánh này của toán học. khoa học coi có thể hữu ích không chỉ trong công việc kinh doanh chuyên nghiệp, mà còn trong cuộc sống hàng ngày. Bạn có thể sử dụng nó để tính toán bất kỳ khả năng của một sự kiện.

Văn bản cũng bị ảnh hưởng bởi những ngày quan trọng trong lịch sử của sự phát triển của lý thuyết xác suất là một khoa học, và tên của những người mà công trình đã được đưa vào nó. Đó là cách con người tò mò đã dẫn đến thực tế là người đã học được cách đếm, thậm chí các sự kiện ngẫu nhiên. Khi họ chỉ quan tâm đến việc này, nhưng ngày nay nó đã được biết đến tất cả. Và không ai có thể nói những gì sẽ xảy ra với chúng ta trong tương lai, những gì khám phá rực rỡ khác liên quan đến lý thuyết đang được xem xét, sẽ được cam kết. Nhưng có một điều chắc chắn là - nghiên cứu vẫn chưa có giá trị nó!