Đồ thị trong khoa học máy tính: định nghĩa, chủng loại, ví dụ ứng dụng. lý thuyết đồ thị trong khoa học máy tính

Đếm trong phương pháp máy tính cho các mối quan hệ xác định được kết hợp các yếu tố. Đây là những đối tượng cơ bản của nghiên cứu trong lý thuyết đồ thị.

định nghĩa cơ bản

là gì trong đồ thị trong khoa học máy tính? Nó bao gồm một đa số của các đối tượng được gọi là các nút hoặc đỉnh, một số cặp trong số đó được nối với nhau bằng m. N. xương sườn. Ví dụ, đồ thị trong hình (a) bao gồm bốn nút, ký hiệu là A, B, C và D, B trong số đó là kết nối với nhau trong ba đỉnh xương sườn khác, và C và D cũng được kết nối. Hai nút tiếp xúc nhau nếu chúng được kết nối bởi một cạnh. Con số này cho thấy một cách điển hình của cách xây dựng đồ thị trong khoa học máy tính. Circles đại diện cho đỉnh và các đường kết nối mỗi cặp trong số họ, là những xương sườn.

Có gì vô hướng đồ thị được gọi là khoa học máy tính? Ông mối quan hệ giữa hai đầu của xương sườn có tính đối xứng. Rib chỉ đơn giản là kết nối chúng với nhau. Trong nhiều trường hợp, tuy nhiên, nó là cần thiết để thể hiện mối quan hệ bất đối xứng - ví dụ, rằng A điểm đến B, nhưng không phải ngược lại. Mục tiêu này là định nghĩa của đồ thị trong máy tính, vẫn còn bao gồm một tập hợp các nút với một tập các cạnh đạo. Mỗi cạnh định hướng là mối liên hệ giữa các đỉnh có hướng có ý nghĩa. đồ thị có hướng miêu tả, như thể hiện trong hình (b), các cạnh của họ được đại diện bởi các mũi tên. Khi bạn muốn nhấn mạnh rằng đồ thị không định hướng, nó được gọi là vô hướng.

mô hình mạng

Đồ thị trong khoa học máy tính là mô hình toán học của các cấu trúc mạng. Hình dưới đây cho thấy cấu trúc của Internet, sau đó mang tên của ARPANET, vào tháng năm 1970, khi cô mới chỉ có 13 điểm. Các nút là trung tâm chế biến và các xương sườn kết nối hai đỉnh feedforward therebetween. Nếu bạn không chú ý đến Hoa Kỳ áp đặt bản đồ, phần còn lại của hình ảnh là một đồ thị 13-nút tương tự như trước đó. Trong trường hợp này, vị trí thực tế của các đỉnh là không cần thiết. Điều quan trọng mà các nút được kết nối với nhau được.

Áp dụng các đồ thị trong máy tính cho phép để xem làm thế nào điều này là một trong hai thể chất hoặc logic kết nối với nhau trong một cấu trúc mạng. 13-nút ARPANET là một ví dụ về mạng thông tin liên lạc, trong đó máy tính đầu hoặc các thiết bị khác có thể truyền tải thông điệp, và các cạnh đại diện cho liên kết trực tiếp mà thông tin có thể được truyền đi.

tuyến

Mặc dù đồ thị được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, họ có những đặc điểm chung. lý thuyết đồ thị (khoa học máy tính) bao gồm có lẽ là quan trọng nhất của họ - ý tưởng rằng mọi thứ thường di chuyển dọc theo các cạnh, liên tục di chuyển từ nút tới nút, có thể là một hành khách một vài chuyến bay hoặc thông tin được truyền từ người này sang người trong một mạng xã hội, hoặc một người dùng máy tính, liên tục truy cập một số trang web bằng cách làm theo các liên kết.

Ý tưởng này thúc đẩy các định nghĩa của các tuyến đường như một loạt các nút nối với nhau bằng các cạnh. Đôi khi nó là cần thiết để xem xét con đường đó không chỉ chứa các thành phần, mà còn là chuỗi các cạnh kết nối chúng. Ví dụ, chuỗi các đỉnh MIT, BBN, RAND, UCLA là một tuyến đường trong đồ thị internet ARPANET. Passage của nút và các cạnh có thể được lặp đi lặp lại. Ví dụ, SRI, STAN, UCLA, SRI, UTAH, MIT cũng là một tuyến đường. Cách thức mà các xương sườn không được lặp đi lặp lại, được gọi là một chuỗi. Nếu các nút không được lặp đi lặp lại, nó được gọi là một chuỗi đơn giản.

chu kỳ

loài đặc biệt quan trọng trong đồ thị máy tính - nó chu kỳ mà đại diện cho một cấu trúc vòng, chẳng hạn như là một chuỗi các nút LINC, CASE, Carn, Harv, BBN, MIT, LINC. Các tuyến đường với ít nhất ba xương sườn, trong đó nút đầu tiên và cuối cùng là như nhau, và phần còn lại là khác nhau, đại diện cho một đồ thị tuần hoàn trong khoa học máy tính.

Ví dụ: chu kỳ SRI, STAN, UCLA, SRI là ngắn nhất, và SRI, STAN, UCLA, RAND, BBN, UTAH, SRI cao hơn đáng kể.

Hầu như tất cả các cạnh của đồ thị ARPANET thuộc về chu kỳ. Điều này đã được thực hiện cố ý, nếu ai trong số họ thất bại, sẽ có khả năng chuyển đổi từ một nút khác. Chu kỳ trong thông tin liên lạc và hệ thống giao thông có mặt để dự phòng - họ cung cấp tuyến đường thay thế cho một con đường vòng. Các mạng xã hội thường chu kỳ đáng chú ý. Khi bạn tìm thấy, ví dụ, rằng một người bạn học thân thiết của anh em họ của vợ của bạn thực sự làm việc với anh trai của mình, đó là một chu kỳ mà bao gồm bạn, vợ bạn, cô em họ, bạn bè của mình từ trường, nhân viên của mình (ví dụ. E. của bạn anh trai), và cuối cùng bạn một lần nữa.

đồ thị liên thông: định nghĩa (khoa học máy tính)

Đó là tự nhiên để tự hỏi liệu nó có thể từ mỗi nút để có được bất kỳ nút khác. Đồ thị được kết nối nếu có một con đường giữa mỗi cặp đỉnh. Ví dụ, mạng ARPANET - kết nối đồ thị. Điều này cũng có thể nói về đa số các mạng thông tin liên lạc và giao thông vận tải, như mục đích của họ là để trực tiếp giao thông từ nút này sang nút khác.

Mặt khác, không có một lý do tiên để hy vọng rằng các loại đồ thị trong khoa học máy tính là phổ biến. Ví dụ, trong các mạng xã hội không phải là khó để tưởng tượng hai người không liên quan đến nhau.

thành phần

Nếu cột không được kết nối với máy tính, họ tự nhiên rơi vào một tập hợp các mảnh vỡ có liên quan, nhóm nút được cách ly và không giao nhau. Ví dụ, Hình cho thấy ba phần như vậy: đầu tiên - A và B, thứ hai - C, D và E, và thứ ba bao gồm các đỉnh còn lại.

Các thành phần của đồ thị đại diện cho một tập hợp con của các nút, trong đó:

• mỗi nhóm đỉnh có một lộ trình để bất kỳ khác;
• tập hợp con không phải là một phần của một bộ lớn hơn trong đó mỗi node có một lộ trình để bất kỳ khác.

Khi các đồ thị trong máy tính được chia thành các thành phần của họ, nó chỉ là sự mô tả ban đầu của phương pháp cấu trúc của chúng. Thành phần này có thể phong phú trong các cấu trúc bên trong, điều quan trọng đối với việc giải thích của mạng là. Ví dụ, phương pháp chính thức để xác định một tầm quan trọng nút là để xác định có bao nhiêu phần sẽ được chia đếm, nếu nút được lấy ra.

thành phần tối đa

Có một phương pháp để đánh giá chất lượng của các thành phần kết nối. Ví dụ, có một mạng xã hội trên toàn thế giới với các kết nối giữa hai người, nếu họ là bạn bè.

Là nó kết nối? Có lẽ không. Khả năng kết nối - bất động sản khá mong manh, và hành vi của một nút (hoặc một nhóm nhỏ trong số họ) có thể làm giảm nó để không có gì. Ví dụ, một người duy nhất không có bạn bè sống là một thành phần bao gồm một đỉnh duy nhất, và do đó, số lượng sẽ không được kết nối. Hoặc một hòn đảo nhiệt đới hẻo lánh, bao gồm những người không có tiếp xúc với thế giới bên ngoài, cũng sẽ là một thành phần nhỏ của mạng lưới, trong đó khẳng định rời rạc của nó.

mạng lưới toàn cầu của bạn bè

Nhưng có cái gì khác. Ví dụ, một độc giả của những cuốn sách nổi tiếng có những người bạn đã lớn lên ở các nước khác, và làm cho họ một thành phần. Nếu chúng ta xem xét đến các bậc cha mẹ của những người bạn và bạn bè của họ, tất cả những người này cũng nằm trong cùng một thành phần, mặc dù họ chưa bao giờ nghe nói về người đọc, nói một ngôn ngữ khác nhau, và bên cạnh nó chưa bao giờ được. Như vậy, mặc dù mạng lưới toàn cầu của tình bạn - không kết nối, người đọc sẽ được đưa vào thành phần rất lớn, thâm nhập vào tất cả các nơi trên thế giới, trong đó bao gồm những người từ nhiều nền tảng khác nhau, và trong thực tế, chứa một phần đáng kể của dân số thế giới.

Điều tương tự cũng xảy ra ở các bộ dữ liệu mạng - mạng lớn, phức tạp thường có một thành phần tối đa, trong đó bao gồm một tỷ lệ đáng kể của tất cả các nút. Hơn nữa, khi mạng bao gồm một thành phần tối đa, đó là hầu như luôn luôn chỉ có một. Để hiểu tại sao, nó là cần thiết để quay trở lại với ví dụ về một mạng lưới toàn cầu của tình hữu nghị và cố gắng hình dung sự tồn tại của hai thành phần tối đa, mỗi trong số đó liên quan đến hàng triệu người. Nó cần phải có một sườn duy nhất trên một số các thành phần đầu tiên đến thứ hai để tối đa hai thành phần sáp nhập thành một. Vì chỉ có một cạnh, trong nhiều trường hợp nó là không thể xảy ra mà nó không được thành lập, và do đó tối đa hai thành phần trong các mạng thực không bao giờ quan sát được.

Trong một số trường hợp hiếm hoi, khi hai thành phần của tối đa cùng tồn tại trong một thời gian dài trong một mạng thực sự, công đoàn của họ là bất ngờ, kịch tính, và cuối cùng, có những hậu quả thảm khốc.

sáp nhập thành phần tai nạn

Ví dụ, sau sự xuất hiện của các nhà thám hiểm châu Âu trong nền văn minh của Tây bán cầu khoảng nửa thiên niên kỷ trước, đã có một cơn đại hồng thủy toàn cầu. Từ quan điểm của mạng, nó trông như thế này: năm ngàn năm của mạng xã hội toàn cầu, có thể gồm hai gã khổng lồ phần - một ở Bắc và Nam Mỹ, và người kia - trong Eurasia. Vì lý do này, công nghệ này đã phát triển một cách độc lập trong hai thành phần, và, thậm chí tệ hơn, như phát triển và bệnh tật của con người, và vân vân. D. Khi hai thành phần cuối cùng có trong công nghệ cảm ứng và một căn bệnh một cách nhanh chóng và tai hại tràn thứ hai.

High School Mỹ

Khái niệm về thành phần tối đa là hữu ích cho lập luận về các mạng trên một quy mô nhỏ hơn nhiều. Một ví dụ thú vị là một đồ thị minh họa mối quan hệ trong một trường trung học Mỹ cho giai đoạn 18 tháng. Thực tế là nó có chứa các thành phần tối đa là điều cần thiết khi nói đến sự lây lan của bệnh, bệnh lây truyền qua đường tình dục, đó là mục đích của nghiên cứu. Học sinh có thể chỉ có một đối tác trong khoảng thời gian đó, nhưng, tuy nhiên, mà không nhận ra nó, đã là một phần của các thành phần của mức tối đa, và do đó, là một phần của nhiều tuyến đường tiềm năng của truyền dẫn. Những cấu trúc này phản ánh một mối quan hệ có thể từ lâu đã kết thúc, nhưng họ kết nối cá nhân trong chuỗi quá dài, là đối tượng thu hút nghiên cứu và tin đồn. Tuy nhiên, họ là có thật: làm thế nào thực tế xã hội đang ẩn danh, nhưng macrostructures hậu quả nổi lên như một sản phẩm của hòa giải cá nhân.

Khoảng cách và chiều rộng đầu tiên tìm kiếm

Ngoài các thông tin về việc liệu hai nút được kết nối với tuyến đường, lý thuyết đồ thị trong khoa học máy tính cho phép bạn để tìm hiểu về chiều dài của nó - trong giao thông vận tải, thông tin liên lạc hoặc phổ biến các tin tức và bệnh tật, cũng như cho dù nó đi qua nhiều đỉnh núi hoặc nhiều.

Để làm điều này, xác định một chiều dài tuyến đường bằng với số bước mà nó có chứa từ đầu đến cuối, tức là. E. Các số cạnh trong chuỗi đó là. Ví dụ, MIT, BBN, RAND, tuyến đường UCLA có chiều dài 3, và MIT, UTAH - 1. Sử dụng chiều dài của con đường, chúng ta có thể nói rằng nếu hai nút được sắp xếp theo cột gần nhau khoảng cách khác hoặc xa giữa hai đỉnh được định nghĩa là chiều dài của con đường ngắn nhất giữa chúng. Ví dụ, khoảng cách giữa các LINC và SRI là 3, tuy nhiên, để đảm bảo điều này, nó là cần thiết để xác minh sự vắng mặt của chiều dài tương đương với 1 hoặc 2, therebetween.

Thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng

Đối với khoảng cách graph nhỏ giữa hai nút tính toán một cách dễ dàng. Nhưng đối phức tạp có một nhu cầu cho một phương pháp có hệ thống xác định khoảng cách.

Cách tự nhiên nhất để làm điều này và do đó, hiệu quả nhất là như sau (ví dụ, một mạng lưới toàn cầu của bạn bè):

• Tất cả bạn bè được khai báo nằm ở khoảng cách 1.
• Tất cả bạn bè của bạn (không đếm đã đề cập) được công bố tại khoảng cách 2.
• Tất cả bạn bè của họ (một lần nữa, không kể những người dán nhãn) công bố vào khoảng cách xa 3.

Tiếp tục theo cách này, việc tìm kiếm được thực hiện ở các lớp tiếp theo, mỗi trong số đó - trên đơn vị trên trước đó. Mỗi lớp mới bao gồm các nút chưa tham gia vào những người trước đây, và rơi cạnh từ đỉnh của lớp trước.

Kỹ thuật này được gọi là tìm kiếm theo chiều rộng, khi cô tìm kiếm cho cột ra khỏi nút ban đầu, chủ yếu bao gồm các tiếp theo. Ngoài việc cung cấp một phương pháp để xác định khoảng cách, nó có thể đóng vai trò như một khuôn khổ khái niệm hữu ích để tổ chức cấu trúc đồ thị cũng như làm thế nào để xây dựng một đồ thị của máy tính, có đỉnh dựa trên khoảng cách từ một điểm khởi đầu cố định.

tìm kiếm theo chiều rộng có thể được áp dụng không chỉ đối với một mạng lưới bạn bè, mà còn để bất kỳ đồ thị.

thế giới nhỏ bé

Nếu bạn quay trở lại một mạng lưới toàn cầu của bạn bè, bạn có thể thấy rằng lập luận rằng giải thích thuộc các thành phần tối đa thực sự chấp thuận một cái gì đó nhiều hơn: không chỉ người đọc có tuyến đường đến bạn bè, liên kết anh ta với một tỷ lệ đáng kể dân số thế giới, nhưng các đường bay đáng ngạc nhiên ngắn .

Ý tưởng này được gọi là "hiện tượng thế giới nhỏ": thế giới dường như nhỏ, nếu bạn suy nghĩ về những gì một con đường ngắn nối bất kỳ hai người.

Các lý thuyết về "sáu bắt tay" lần đầu tiên được thực nghiệm điều tra bởi Stanley Milgram và các đồng nghiệp của mình trong năm 1960. Mà không cần phải bất kỳ tập hợp dữ liệu mạng xã hội, và với một ngân sách $ 680, ông đã quyết định để kiểm tra một ý tưởng phổ biến. Để kết thúc này, ông hỏi 296 người khởi xướng lựa chọn ngẫu nhiên cố gắng gửi một bức thư cho môi giới chứng khoán, người đã sống ở ngoại ô Boston. Khởi đã đưa ra một số thông tin cá nhân về mục đích (bao gồm cả địa chỉ và nghề nghiệp), và họ đã phải gửi một bức thư cho người mà họ biết theo tên, với các hướng dẫn tương tự, vì vậy mà nó đạt được mục tiêu càng nhanh càng tốt. Mỗi lá thư đã qua tay của một số bạn bè và thành lập một chuỗi đóng cho công ty môi giới chứng khoán bên ngoài của Boston.

Trong số 64 chuỗi rằng đã đạt đến mục tiêu, chiều dài trung bình là sáu, xác nhận số tên hai thập kỷ trước đó trong vở kịch Dzhona Gera tiêu đề.

Mặc dù tất cả những thiếu sót của nghiên cứu này, các thí nghiệm đã chứng minh một trong những khía cạnh quan trọng nhất của sự hiểu biết của chúng ta về các mạng xã hội. Trong những năm tiếp theo sau từ nó đã được thực hiện kết luận rộng hơn: mạng xã hội có xu hướng có các tuyến đường rất ngắn giữa các cặp tùy ý của người dân. Và ngay cả khi kết nối gián tiếp như vậy với lãnh đạo doanh nghiệp và các nhà lãnh đạo chính trị không trả tiền cho bản thân trên một cơ sở hàng ngày, sự tồn tại của các tuyến đường ngắn như vậy đóng một vai trò lớn trong tốc độ của phổ biến thông tin, bệnh tật và các loại nhiễm trùng khác trong cộng đồng, cũng như trong việc tiếp cận mạng xã hội cung cấp cho những người có khá những phẩm chất ngược lại.